十一面体

**十一面体**
部分的十一面体
; 双对称十一面体	; 五角锥台锥
; 正五角锥柱	; 截顶角五方偏方面体
; 侧锥六角柱	; 二侧锥三角柱

在几何学中，十一面体（英语：Hendecahedron）是指具有十一个面的多面体^[1]。没有任何十一面体是正十一面体，也就是说找不到面由正多边形组成且每个面全等、每个角相等的十一面体。

命名

十一面体的英文是Hendecahedron，其命名方式为Hen-代表一，deca代表十，然后结合多面体字尾-hedron，就得到十一面体Hendecahedron^[2]。

常见的十一面体

在所有凸十一面体中，包含镜射像共有440,564种拓朴结构明显差异的凸十一面体^[3]^[4]。拓朴结构有明显差异意味著两种多面体无法透过移动顶点位置、扭曲或伸缩来相互变换的多面体，例如五角锥柱和九角柱无论如何变形都无法互相变换，因此拓朴结构不同，但九角柱和九角锥台可以透过伸缩其中一个九边形面来彼此互换，因此三角柱和三角锥台在拓朴上并无明显差异。

常见的十一面体有锥体和柱体、部分的詹森多面体和半正多面体，此处的半正多面体并非阿基米德立体，而是正九角柱。

其他十一面体还有九角柱、十角锥、正五角锥反角柱的对偶、双对称十一面体等多面体，其中双对称十一面体可以密铺空间。^[5]

三角罩帐

三角罩帐是指以三角形为底的罩帐，是一种十一面体，由1个三角形顶面、1个六边形底面、3个五边形侧面和6个三角形侧面组成，共有11个面、21条边和12个顶点，其中顶面的三角形与底面的六边形互相平行，侧面的三角形与五边形交错地围绕轴分布在周围。

以正三角形为底的三角罩帐称为正三角罩帐，其仅有顶面和底面为正多边形，分别为顶面的正三边形和底面的正六边形，侧面可能可以存在正三角形或存在正五边形，但有正三角形面时，五边形最多仅能是等边不等角的非正五边形；有正五边形面时，三角形会出现等腰三角形，故不属于詹森多面体。唯一属于詹森多面体的罩帐仅有正五角罩帐^[6]。

正三角罩帐的对称群为C_3v（英语：Dihedral symmetry in three dimensions）群，阶数为6阶。

截半三角柱

在几何学中，截半三角柱是指经过截半变换后的三角柱，是一种十一面体^[7]，其侧面是正方形、底面是正三角形，另外还有6个等腰三角形面。

截半三角柱可由三角柱将边的中点当作新的顶点，旧的顶点消失，来构造，换句话说，即是用三角柱由一条棱斩到另一条棱的中点（即斩去三角柱的顶点，但不是截角）而成。

其具有D_3h二面体群的对称性。

詹森多面体

在十一面体中，有3个是詹森多面体，它们分别为:正五角锥柱、二侧锥三角柱、侧锥六角柱。

名称	种类	编号	顶点	边	面	面的种类	对称性
正五角锥柱	角锥柱	J₉^[8]	11	20	11	5个正三角形 5个正方形 1个正五边形	C_5v, [5], (*55)
二侧锥三角柱	锥体与柱体的组合	J₅₀^[9]	8	17	11	10个正三角形 1个正方形	C_2v
侧锥六角柱	锥体与柱体的组合	J₅₄^[10]	8	17	11	4个正三角形 5个正方形 2个六边形	C_2v

九角柱

九角柱是一种底面为九边形的柱体，是十一面体的一种，由11个面、27条边和18个顶点组成^[11]，对偶多面体为双九角锥^[12]。正九角柱代表每个面都是正多边形的九角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个九边形的公共顶点，因此具有每个角等角的性质，可以归类为半正十一面体。而顶点都是2个正方形和1个九边形的公共顶点的这种顶角，在顶点图中以 $4{.}4{.}9$ 表示。正九角柱在施莱夫利符号中可以利用{9}×{} 或 t{2, 9}来表示；在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以利用来表示；在威佐夫符号（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 9 | 2来表示；在康威多面体表示法中可以利用P9来表示。若一个正九角柱底边的边长为 $s$ 、高为 $h$ ，则其体积 $V$ 和表面积 $S$ 为^[13]：

V={\frac {9hs^{2}\cot {\frac {\pi }{9}}}{4}}\approx 6.18182hs^{2}

S=9s\left(h+{\frac {1}{2}}s\cot {\frac {\pi }{9}}\right)\approx 9s\left(h+1.37374s\right)

十角锥

十角锥是一种底面为十边形的锥体，是十一面体的一种，由11个面、20条边和11个顶点组成^[14]，其对偶多面体是自己本身^[15]。正十角锥是一种底面为正十边形的十角锥。若一个正十角锥底边的边长为 $s$ 、高为 $h$ ，则其体积 $V$ 和表面积 $S$ 为^[15]：

V={\frac {5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{6}}hs^{2}\approx 2.56474hs^{2}

S={\frac {5s\left({\sqrt {4h^{2}+\left(5+2{\sqrt {5}}\right)s^{2}}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}s\right)}{2}}\approx 2.5s\left({\sqrt {4h^{2}+9.47214s^{2}}}+3.07768s\right)

十一面体列表

名称	种类	符号	顶点	边	面	χ	面的种类	对称性
九角柱	棱柱体	t{2,9} {9}x{}	18	27	11	2	2个九边形 9个矩形	D_9h, [9,2], (*922), order 36
十角锥	棱锥体	( )∨{10}	11	20	11	2	1个十边形 10个三角形	C_10v, [10], (*10 10)
五角锥柱	角锥柱詹森多面体	P5+Y5	11	20	11	2	5个三角形 5个正方形 1个五边形	C_5v, [5], (*55)
五角锥台锥	截角双锥		11	20	11	2	1个五边形 5个梯形 5个三角形	C_5v, [5], (*55)
三角罩帐	罩帐		12	21	11	2	1个三角形顶面 1个六边形底面 3个五边形侧面 6个三角形侧面	C_3v（英语：Dihedral symmetry in three dimensions）, [3], (*33), order 6
截顶角五方偏方面体	截顶角偏方面体		16	25	11	2	1个五边形底面 5个五边形侧面 5个鹞形侧面	C_5v, [5], (*55)
截半三角柱			9	18	11	2	2个三角形 3个正方形 6个等腰三角形	D_3h, [3,2], (*322), order 12
截半双三角锥			9	18	11	2	3个正方形 8个三角形	D_3h, [3,2], (*223) order 12
双对称十一面体	空间充填多面体		11	20	11	2	4个筝形 2个菱形 4个等腰三角形 1个正方形

在化学中

在化学中，将十八面体硼烷离子([B₁₁H₁₁]²⁻)的氢全部去掉后，可以得到一个结构，它是十八面体，再将每个硼原子做垂直于重心到硼原子的面，可构造成新的多面体，即为十八面体硼烷结构的对偶多面体，也是十一面体之一。^[16]

双对称十一面体

双对称十一面体（Bisymmetric Hendecahedron）是十一面体的一种多面体

柏拉图和阿基米德立体，只有少数可以密铺于空间，也就是说堆砌在一起，不留空隙，以填补空间。Guy Inchbald描述了一个有趣的多面体，可以以令人惊讶的方式利用11面体完成空间的密铺。^[5]^[17]^[18]

图像	旋转动画	展开图

曾有人提出一个十一面体^[5]，它的面数和顶点数是相同的^[19]，经过扭曲后，会得到不同的特性。最对称的自身对偶十一面体是双对称十一面体^[20]，它之所以会称为双对称是因为它有两个对称面^[19]。

参考文献

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查论编多面体
1 - 10	一面体二面体三面体四面体正四面体锲形体五面体三角柱四角锥六面体立方体长方体四角柱五角锥平行六面体双三角锥七面体八面体九面体十面体
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