在數學裏,尤其是在群論、環與模理論、同調代數及微分幾何等數學領域中,正合序列(或釋作正合列或恰當序列)是指一個由對象及其間的態射所組成的序列,該序列中的每一個態射的像都恰好是其下一個態射的核。正合序列可以為有限序列或無限序列。
正合序列於同調代數中居於核心地位,其中特別重要的一類是短正合序列。
定義
在群論裏,一個由群及群同態所組成的序列
稱之為正合序列,若且唯若該序列中的每一個同態的像均等於其下一個同態的核:
上述的正合序列可以為有限序列,亦或是無限序列。
在其他的代數結構裏也可以得出類似的定義,如將群與群同態替換成向量空間與線性映射,或是模與模同態,也都可以得出類似的正合序列定義。更一般性地來說,任何一個具有核與上核的範疇裏都能形成正合序列的概念。
簡單例子
下面會舉出一些相對簡單的例子來幫助理解上述定義。這些例子均以當然群作為開頭或結束,一般會將此一平凡群標記為0(表示加法運算,一般用於序列內的群為阿貝爾群時),或標記為1(表示乘法運算)。
- 序列0 → A → B 為正合序列,若且唯若從A 至B 的映射,其核為{0},亦即若且唯若該映射為單射。
- 在對偶時,序列B → C → 0 為正合序列,若且唯若從B 至C 的映射,其像為整個C,亦即若且唯若該映射為滿射。
- 因此,序列0 → X → Y → 0 為正合序列,若且唯若從X 至Y 的映射同時為單射及滿射(即為雙射),並因此在大多數狀況下,該映射為從X 至Y 的同構。
短正合序列
短正合序列為具有下列形式的正合序列
如上所述,對任何一個短正合序列,f 一定為單射,且g 一定為滿射,且f 的像會等於g 的核。因此,可導出一同構
若以下任一等價(依據分裂引理)條件成立,則稱短正合序列 分裂:
- 有截面(即存在使得)
- 有縮回(即存在使得)
- 該短正合序列同構(在鏈複形的意義下)於
- 其中的箭頭是直和的典範映射。
對於群的範疇,前兩個條件不一定蘊含第三個,它們只能保證可以表為與的半直積;例如我們可考慮群同態
其中是3次對稱群。由給出,它的像是交代群,商為;但無法分解成。
將正合序列拆解為短正合序列
正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列,構造方式如下:考慮一正合序列
設
其中,這就給出了一個短正合序列
一般而言,設為鏈複形,我們同樣定義;此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈的正合性。
推廣
給定一個短正合序列
有時也稱為經由的擴張。
詳閱條目Ext函子與群上同調。
長正合序列
若有鏈複形的短正合序列:
反覆運用蛇引理,可以導出正合序列
對上鏈複形的上同調亦同,此時連接同態的方向是。這類序列稱作長正合序列,它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中,長正合序列與相對同調群和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。
參見