提示 ：此条目页的主题不是
导子 。
在同調代數 中，阿貝爾範疇 間的某類函子可以「求導」，以獲得相應的導出函子 。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。
考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列 造出一個長正合序列 。具體言之：給定兩個阿貝爾範疇
A
,
B
{\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}
F
:
A
→
B
{\displaystyle F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
F
{\displaystyle F}
正合函子 ，換言之，對
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
0
→
A
→
B
→
C
→
0
{\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}
下列序列是正合的：
0
→
F
(
A
)
→
F
(
B
)
→
F
(
C
)
{\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)}
由此自然導出一個問題：如何自然地延長此正合序列？
F
{\displaystyle F}
R
i
F
:
A
→
B
{\displaystyle R^{i}F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
R
0
F
=
F
{\displaystyle R^{0}F=F}
0
→
F
(
A
)
→
F
(
B
)
→
F
(
C
)
→
R
1
F
(
A
)
→
R
1
F
(
B
)
→
R
1
F
(
C
)
→
R
2
F
(
A
)
→
⋯
{\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to \cdots }
導出函子可以視為
F
{\displaystyle F}
今假設
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
X
∈
A
{\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}
內射分解 ：
0
→
X
→
I
0
→
I
1
→
I
2
→
⋯
{\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }
取函子
F
{\displaystyle F}
鏈複形 ：
0
→
F
(
X
)
→
F
(
I
0
)
→
F
(
I
1
)
→
F
(
I
2
)
→
⋯
{\displaystyle 0\to F(X)\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }
定義
R
i
F
(
X
)
{\displaystyle R^{i}F(X)}
i
{\displaystyle i}
R
0
F
(
X
)
=
F
(
X
)
{\displaystyle R^{0}F(X)=F(X)}
由於任兩個內射分解彼此同倫等價，函子
R
i
F
{\displaystyle R^{i}F}
若
X
{\displaystyle X}
0
→
X
→
X
→
0
{\displaystyle 0\to X\to X\to 0}
i
>
0
{\displaystyle i>0}
R
i
F
(
X
)
=
0
{\displaystyle R^{i}F(X)=0}
左導出函子的建構與右導出函子對偶。設
G
:
A
→
B
{\displaystyle G:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
X
∈
A
{\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}
射影分解 ：
⋯
→
P
2
→
P
1
→
P
0
→
X
→
0
{\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}
取函子
G
{\displaystyle G}
⋯
→
G
(
P
2
)
→
G
(
P
1
)
→
G
(
P
0
)
→
0
{\displaystyle \cdots \to G(P_{2})\to G(P_{1})\to G(P_{0})\to 0}
定義
L
i
G
(
X
)
{\displaystyle L^{i}G(X)}
i
{\displaystyle i}
對於逆變函子也能定義導出函子，此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。
對於右導出函子的情形，任一短正合序列
0
→
A
→
B
→
C
→
0
{\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}
⋯
→
R
i
−
1
F
(
C
)
→
R
i
F
(
A
)
→
R
i
F
(
B
)
→
R
i
F
(
C
)
→
R
i
+
1
F
(
A
)
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to R^{i-1}F(C)\to R^{i}F(A)\to R^{i}F(B)\to R^{i}F(C)\to R^{i+1}F(A)\to \cdots }
對於左導出函子，相應的長正合序列形如
⋯
→
L
i
+
1
G
(
C
)
→
L
i
G
(
A
)
→
L
i
G
(
B
)
→
L
i
G
(
C
)
→
L
i
−
1
G
(
C
)
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to L^{i+1}G(C)\to L^{i}G(A)\to L^{i}G(B)\to L^{i}G(C)\to L^{i-1}G(C)\to \cdots }
此外，這些長正合序列在下述意義下是「自然」的：
短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。 這些性質是蛇引理 的推論。
層上同調 ：對拓撲空間
X
{\displaystyle X}
F
↦
Γ
(
X
,
F
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {F}})}
F
↦
H
i
(
X
,
F
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto H^{i}(X,{\mathcal {F}})}
平展上同調 ：平展上同調用於概形 上的另一種上同調理論。Ext函子 ：設
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
H
o
m
R
(
A
,
−
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(A,-)}
B
↦
E
x
t
R
i
(
A
,
B
)
{\displaystyle B\mapsto \mathrm {Ext} _{R}^{i}(A,B)}
Tor函子 ：同樣考慮
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
B
{\displaystyle B}
−
⊗
R
B
{\displaystyle -\otimes _{R}B}
A
↦
T
o
r
i
R
(
A
,
B
)
{\displaystyle A\mapsto \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)}
群上同調 ：設
G
{\displaystyle G}
群 。所謂
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
阿貝爾群 ，
G
{\displaystyle G}
Z
G
{\displaystyle \mathbb {Z} G}
G
{\displaystyle G}
M
{\displaystyle M}
M
G
:=
{
m
∈
M
:
∀
g
∈
G
,
g
⋅
m
=
m
}
{\displaystyle M^{G}:=\{m\in M:\forall g\in G,\;g\cdot m=m\}}
M
↦
H
i
(
G
,
M
)
{\displaystyle M\mapsto H^{i}(G,M)}
現代的導範疇 理論為導出函子提供了一套較廣的框架。
Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5 ; 0-521-55987-1 
