正合序列

在数学里，尤其是在群论、环与模理论、同调代数及微分几何等数学领域中，正合序列（或释作正合列或恰当序列）是指一个由对象及其间的态射所组成的序列，该序列中的每一个态射的像都恰好是其下一个态射的核。正合序列可以为有限序列或无限序列。

正合序列于同调代数中居于核心地位，其中特别重要的一类是短正合序列。

定义

在群论里，一个由群及群同态所组成的序列

G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}

称之为正合序列，若且唯若该序列中的每一个同态的像均等于其下一个同态的核：

\operatorname {im} (f_{k})=\ker(f_{k+1})

上述的正合序列可以为有限序列，亦或是无限序列。

在其他的代数结构里也可以得出类似的定义，如将群与群同态替换成向量空间与线性映射，或是模与模同态，也都可以得出类似的正合序列定义。更一般性地来说，任何一个具有核与上核的范畴里都能形成正合序列的概念。

简单例子

下面会举出一些相对简单的例子来帮助理解上述定义。这些例子均以平凡群作为开头或结束，一般会将此一平凡群标记为0（表示加法运算，一般用于序列内的群为阿贝尔群时），或标记为1（表示乘法运算）。

序列0 → A → B 为正合序列，若且唯若从A 至B 的映射，其核为{0}，亦即若且唯若该映射为单射。
在对偶时，序列B → C → 0 为正合序列，若且唯若从B 至C 的映射，其像为整个C，亦即若且唯若该映射为满射。
因此，序列0 → X → Y → 0 为正合序列，若且唯若从X 至Y 的映射同时为单射及满射（即为双射），并因此在大多数状况下，该映射为从X 至Y 的同构。

短正合序列

短正合序列为具有下列形式的正合序列

0\to A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\to 0

如上所述，对任何一个短正合序列，f 一定为单射，且g 一定为满射，且f 的像会等于g 的核。因此，可导出一同构

C\cong B/\operatorname {im} (f)

若以下任一等价（依据分裂引理）条件成立，则称短正合序列 $0\longrightarrow A'{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A{\stackrel {g}{\longrightarrow }}A''\longrightarrow 0$ 分裂：

$g$ 有截面（即存在 $s:A''\rightarrow A$ 使得 $g\circ s=\mathrm {id} _{A''}$ ）
$f$ 有缩回（即存在 $r:A\rightarrow A'$ 使得 $r\circ f=\mathrm {id} _{A'}$ ）
该短正合序列同构（在链复形的意义下）于

0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow 0

其中的箭头是直和的典范映射。

对于群的范畴，前两个条件不一定蕴含第三个，它们只能保证 $A$ 可以表为 $A'$ 与 $A''$ 的半直积；例如我们可考虑群同态

1\longrightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \longrightarrow S_{3}\longrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \longrightarrow 0

其中 $S_{3}$ 是3次对称群。 $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \rightarrow S_{3}$ 由 $n\;\mathrm {mod} \;3\longmapsto (123)^{n}$ 给出，它的像是交代群 $A_{3}$ ，商为 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ；但 $S_{3}$ 无法分解成 $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 。

将正合序列拆解为短正合序列

正合序列可以透过核Ker与上核Coker的构造拆解为短正合序列，构造方式如下：考虑一正合序列

\cdots \longrightarrow A_{n-1}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow A_{n+1}\longrightarrow \cdots

设

Z_{n}:=\mathrm {Ker} (A_{n}\to A_{n+1})=\mathrm {Im} (A_{n-1}\to A_{n})=\mathrm {Coker} (A_{n-2}\to A_{n-1})

其中 $2\leq n\leq 4$ ，这就给出了一个短正合序列

0\longrightarrow Z_{n}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0

一般而言，设 $A_{\bullet }$ 为链复形，我们同样定义 $Z_{n}:=\mathrm {Ker} (A_{n}\to A_{n+1})$ ；此时链复形的正合性等价于所有短链 $0\rightarrow Z_{n}\rightarrow A_{n}\rightarrow Z_{n+1}\rightarrow 0$ 的正合性。

推广

给定一个短正合序列

0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow 0

有时也称 $A$ 为 $A''$ 经由 $A'$ 的扩张。

详阅条目Ext函子与群上同调。

长正合序列

若有链复形的短正合序列：

0\longrightarrow C'_{\bullet }\longrightarrow C_{\bullet }\longrightarrow C''_{\bullet }\longrightarrow 0

反复运用蛇引理，可以导出正合序列

\cdots \longrightarrow H_{n+1}(C''_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C'_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C''_{\bullet })\longrightarrow H_{n-1}(C'_{\bullet })\longrightarrow \cdots

对上链复形的上同调亦同，此时连接同态的方向是 $H^{n}(C''^{\bullet })\to H^{n+1}(C'^{\bullet })$ 。这类序列称作长正合序列，它是同调代数最重要的技术之一。在代数拓扑中，长正合序列与相对同调群和Mayer-Vietoris序列相关。导函子也可以导出相应的长正合序列。

参见