分類問題之損失函數

各種代理損失函數的曲線。藍色為0–1指示函數，綠色為平方損失函數，紫色為鉸鏈損失函數，黃色為邏輯損失函數。注意所有代理損失函數對y=f(x= 0) 均給出1的懲罰。

在機器學習和最佳化領域中，分類問題之損失函數可以用來表達預測不準確之程度，其中分類問題主要是用來判斷所偵測到的物件屬於什麼類別。將一個向量空間$X$做為所有的輸入值，而向量空間$Y=\{-1,1\}$做為所有的輸出值。我們希望能夠找到最佳的公式$f:X\rightarrow \Re$將${\vec {x}}$映射到$y$。然而，由於信息不完整、雜訊、計算過程中的非確定性模塊等因素，有可能會有相同的輸入值${\vec {x}}$映射到不同的輸出值$y$。因此，這個學習過程的目的就是要最小化預期風險（更詳細的介紹參見統計學習理論），預期風險之定義為：

$I[f]=\textstyle \int _{X\times Y}^{}\displaystyle V(f({\vec {x}},y))p({\vec {x}},y)d{\vec {x}}dy$

其中$V(f({\vec {x}},y))$即損失函數，而$p({\vec {x}},y)$為概率密度函數。而實作上概率分佈$p({\vec {x}},y)$通常是未知的，因此我們使用由數據樣本空間中取出的$n$個獨立且同分佈（i.i.d.）的樣本點

$S=\{({\vec {x_{1}}},y_{1}),...,({\vec {x_{n}}},y_{n})\}$作為訓練集，將樣本空間所得到的經驗風險做為預期風險的替代，其定義為：

$I_{S}[f]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}V(f({\vec {x_{i}}},y_{i}))$

基於分類問題的二元性，可定義0-1函數做為匹配值之基準。因此損失函數為：

$V(f({\vec {x}},y))=H(-yf({\vec {x}}))$

其中$H$為步階函數。然而損失函數並不是凸函數或平滑函數，是一種NP-hard的問題，因此做為替代，需要使用可以追蹤的機器學習演算法（透過凸損失函數）。

分類問題之界線

使用貝式定理，可以基於問題的二元性最佳化映射公式$f^{*}$為：

$f^{*}({\vec {x}})={\begin{cases}1,&{\text{if }}p(1\mid {\vec {x}})>p(-1\mid {\vec {x}})\\-1,&{\text{if }}p(1\mid {\vec {x}})<p(-1\mid {\vec {x}})\end{cases}}$

當$p(1\mid {\vec {x}})\neq p(-1\mid {\vec {x}})$

簡化分類問題預期風險

${\begin{alignedat}{4}I[f(x)]&=\int _{X\times Y}^{}V(f({\vec {x}},y))p({\vec {x}},y)d{\vec {x}}dy\\&=\int _{X}^{}\int _{Y}^{}V(f({\vec {x}},y))p({\vec {x}},y)p({\vec {x}})dyd{\vec {x}}\\&=\int _{X}^{}[V(-f({\vec {x}})p(1\mid x)+V(f({\vec {x}})p(-1\mid x)]p({\vec {x}})d{\vec {x}}\\&=\int _{X}^{}[V(-f({\vec {x}})p(1\mid x)+V(f({\vec {x}})(1-p(1\mid x))]p({\vec {x}})d{\vec {x}}\end{alignedat}}$

平方損失

$V(f({\vec {x}},y))=(1-yf({\vec {x}}))^{2}$

平方損失凸且平滑，但容易過度懲罰錯誤預測，導致收斂速度比邏輯損失和鏈結損失慢。它的優點為有助於簡化交叉驗證之正則化（regularization）。

最小化預期風險之映射函數為：

$f_{Square}^{*}=2p(1\mid x)-1$

鏈結損失

$V(f({\vec {x}}),y)=\max(0,1-yf({\vec {x}}))=|1-yf({\vec {x}})|_{+}$

鏈結損失公式等同於支持向量機（SVM）的損失公式。鏈結損失凸但不平滑（在$yf({\vec {x}}))=1$不可微分），因此不適用於梯度下降法和隨機梯度下降法，但適用次梯度下降法。 最小化預期風險之映射函數為：

$f_{Square}^{*}=2p(1\mid x)-1$

廣義平滑鏈結損失

$f_{\alpha }^{*}(z)\;=\;{\begin{cases}{\frac {\alpha }{\alpha +1}}&{\text{if }}z<0\\{\frac {1}{\alpha +1}}z^{\alpha +1}-z+{\frac {\alpha }{\alpha +1}}&{\text{if }}0<z<1\\0&{\text{if }}z\geq 1\end{cases}}$

其中$z=yf({\vec {x}})$

邏輯損失

$V(f({\vec {x}}),y)={\frac {1}{\ln 2}}\ln(1+e^{-yf({\vec {x}})})$

適用於梯度下降法，但不會對錯誤預測做懲罰。 最小化預期風險之映射函數為：

$f_{\text{Logistic}}^{*}=\ln \left({\frac {p(1\mid x)}{1-p(1\mid x)}}\right).$

交叉熵損失

$V(f({\vec {x}}),t)=-t\ln(f({\vec {x}}))-(1-t)\ln(1-f({\vec {x}}))$

其中$t=(1+y)/2$ so that $t\in \{0,1\}$ 屬於凸函數，適用於隨機梯度下降法。

指數損失

$V(f({\vec {x}}),y)=e^{-\beta yf({\vec {x}})}$