虛功

粒子的運動軌道與虛軌道分別為$x(t)$與$x'(t)$。在位置$x_{1}$、時間$t_{1}$，虛位移為$\delta x$。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為$x_{0}$與$x_{2}$。

在分析力學裏，施加於某物體的作用力，由於給定的虛位移，所做的機械功，稱為虛功（英語：virtual work）。以方程式表達，虛功$\delta W$是

$\delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r}$；

其中，$\mathbf {F}$是作用力，$\delta \mathbf {r}$是虛位移。

在這篇文章裏，位移指的是平移運動所造成的位移或旋轉運動所造成的角位移；作用力指的是力量或力矩。虛位移不是實際的位移，而是一種虛構的、理論上的位移，是一種只涉及位置，不涉及時間的變化。每一個虛位移既是自變量（independent variable），又是任意設定的。任意性是一個很重要的特性，在數學關係式裏，能夠推導出許多重要的結果。例如，思考下述矩陣方程式：

$\mathbf {R} ^{T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{T}\mathbf {B} \mathbf {q}$；

其中，$\mathbf {R} ,\ \mathbf {r} ,\ \mathbf {q}$都是向量，$\mathbf {B}$是方塊矩陣。

假若，$\mathbf {R}$是個任意非零向量，則可以將任意項目$\mathbf {R}$從方程式中除去，得到$\mathbf {r} =\mathbf {B} \mathbf {q}$。

虛功原理

虛功原理闡明，一個物理系統處於靜態平衡（static equilibrium），若且唯若，所有施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所做的虛功的總和等於零。以方程式表達，

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$。

考慮一個由一群質點組成，呈靜態平衡的物理系統，其內部任意一個質點$P_{i}$可能感受到很多個作用力。這些作用力的總和$\mathbf {F} _{i}^{(T)}$等於零：

$\mathbf {F} _{i}^{(T)}=0$。

給予這質點$P_{i}$ 虛位移$\delta \mathbf {r} _{i}$，則合力$\mathbf {F} _{i}^{(T)}$所做的虛功$\delta W_{i}$為零：

$\delta W_{i}=\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$。

總合這系統內做於每一個質點的虛功，其答案也是零：

$\delta W=\sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$。

將合力細分為外力$\mathbf {F} _{i}$與約束力$\mathbf {C} _{i}$：

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$。

假設所有約束力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零：

$\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$，

則約束力項目可以從方程式中除去，從而得到虛功原理的方程式：

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$。

注意到這推論裏的約束力假設。在這裏，約束力就是牛頓第三定律的反作用力。因此，可以稱此假設為反作用力的虛功假設：所有反作用力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零。這是分析力學額外設立的假設，無法從牛頓運動定律推導出來。

在動力學裏，虛功原理會被推廣為達朗貝爾原理。這原理是拉格朗日力學的理論基礎。更詳盡細節，請參閱相關條目。

適用案例

在此特別列出幾個案例，展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零：

• 剛體的約束條件是一種完整約束，以方程式表達，$(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=L_{ij}^{2}$；其中，剛體內部的質點$P_{i}$、$P_{j}$的位置分別為$\mathbf {r} _{i}$、$\mathbf {r} _{j}$，它們之間的距離$L_{ij}$是個常數。所以，兩個質點的虛位移$\delta \mathbf {r} _{i}$、$\delta \mathbf {r} _{j}$之間的關係為

$\delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=2(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})(\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0$。

在這裏，有兩種可能的狀況：

1、$\delta \mathbf {r} _{i}=\delta \mathbf {r} _{j}$：

對於這狀況，由於$\mathbf {C} _{ji}=-\mathbf {C} _{ij}$，兩個作用力所做的虛功相互抵銷，也就是說，

$\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=0$，

所以，約束力所做的虛功的總合是零。

2、$(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\perp (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})$ :

由於$\mathbf {C} _{ij}\ \|\ \mathbf {C} _{ji}\ \|\ (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})$，

$\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0$。

所以，約束力所做的虛功的總合是零。

所以，在剛體內，質點與質點之間的約束力所作的虛功的總合是零。

• 思考置放於平滑地面上的一塊木塊。因為木塊的重量，而產生的反作用力，是地面施加於木塊的一種約束力。注意到對於這案例，符合約束條件的虛位移必須與地面平行，所以，地面施加的約束力垂直於虛位移，它所作的虛功等於零。。

在位形空間的意義

將一般的作用力和坐標分別變換為以廣義力${\mathcal {F}}_{i}$和廣義坐標$q_{i}$表達，

$\delta W=\sum _{i}{\mathcal {F}}_{i}\delta q_{i}=0$。

設定一個$N$維位形空間，其坐標為$(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})$，其內中表示位置的點稱為位形點。想像這物理系統移動於這位形空間。在這位形空間裏，廣義力${\boldsymbol {\mathcal {F}}}=(F_{1},F_{2},\dots ,F_{N})$垂直於符合約束條件的虛位移$\delta \mathbf {q} =(\delta q_{1},\delta q_{2},\dots ,\delta q_{N})$。

假設，這物理系統沒有任何約束條件，則虛位移可以是任意向量。但是，廣義力${\boldsymbol {\mathcal {F}}}$不可能垂直於$N$維位形空間裏的每一個向量，所以，廣義力${\boldsymbol {\mathcal {F}}}$必須等於零。

假設，這物理系統有$L$個約束條件，則自由度為$N-L$，位形點必需處於位形空間的某$N-L$維子空間，而廣義力${\boldsymbol {\mathcal {F}}}$必須垂直於這子空間，因此必需使用$N-L$個運動方程式來表達這物理系統。

保守系統

假設這系統是保守系統，則每一個廣義力都是純量的廣義位勢函數$V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})$的對於其對應的廣義坐標的負偏導數：

$F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}$。

虛功與廣義位勢的關係為

$\delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0$。

由於位勢的變分$\delta V$等於零，一個靜態平衡系統的位勢$V$乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設，要求這系統處於穩定狀態，則位勢$V$必須是個局域極小值。

參見

• 柔度法
• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學

外部連結

• 虛功原理的應用實例 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）