虛位移

粒子的運動軌道與虛軌道分別為$x(t)$與$x'(t)$。在位置$x_{1}$、時間$t_{1}$，虛位移為$\delta x$。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為$x_{0}$與$x_{2}$。

在分析力學裏，保持時間不變，虛位移是符合約束條件的無窮小位移。由於任何物理運動都需要經過時間的演進才會有實際的位移，所以稱保持時間不變的位移為虛位移。

如右圖，假設一個粒子的運動軌道是$x(t)$，另外一條不違反約束條件的路徑是$x'(t)$，則在時間$t_{1}$，虛位移是$\delta x=x'(t_{1})-x(t_{1})$。

假設一個位置向量$\mathbf {r} _{i}$是廣義坐標$q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}$與時間$t$的函數，$\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},t)$，則此位置向量的無窮小位移為

$\operatorname {d} \!\mathbf {r} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t+\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\operatorname {d} \!q_{j}$；

虛位移$\delta \mathbf {r} _{i}$為

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}$。

物理系統的運動必須符合設定的約束條件，虛位移也必須符合約束條件。例如，假設一個彈珠被約束地只能移動於一個直立的圓圈。它的位置可以用角坐標$\theta$表示所在地點的角度。如果彈珠是在圓圈的頂端，將彈珠從高度$z$往上移至高度$z+dz$會違反約束條件，唯有可能的虛位移是將彈珠從位置$\theta$移至$\theta +\delta \theta$；這裏，$\delta \theta$可以是正數或負數。

特別注意，虛位移只是空間位移；時間是固定的。雖然某一數值是空間與時間的參數，當計算此數值的虛全微分時，完全不考慮時間的相關性，也就是說$\delta t=0$。

參閱

• 虛功
• 達朗貝爾原理
• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學