虚功

粒子的运动轨道与虚轨道分别为$x(t)$与$x'(t)$。在位置$x_{1}$、时间$t_{1}$，虚位移为$\delta x$。两种轨道的初始位置与终止位置分别为$x_{0}$与$x_{2}$。

在分析力学里，施加于某物体的作用力，由于给定的虚位移，所做的机械功，称为虚功（英语：virtual work）。以方程式表达，虚功$\delta W$是

$\delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r}$；

其中，$\mathbf {F}$是作用力，$\delta \mathbf {r}$是虚位移。

在这篇文章里，位移指的是平移运动所造成的位移或旋转运动所造成的角位移；作用力指的是力量或力矩。虚位移不是实际的位移，而是一种虚构的、理论上的位移，是一种只涉及位置，不涉及时间的变化。每一个虚位移既是自变量（independent variable），又是任意设定的。任意性是一个很重要的特性，在数学关系式里，能够推导出许多重要的结果。例如，思考下述矩阵方程式：

$\mathbf {R} ^{T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{T}\mathbf {B} \mathbf {q}$；

其中，$\mathbf {R} ,\ \mathbf {r} ,\ \mathbf {q}$都是向量，$\mathbf {B}$是方块矩阵。

假若，$\mathbf {R}$是个任意非零向量，则可以将任意项目$\mathbf {R}$从方程式中除去，得到$\mathbf {r} =\mathbf {B} \mathbf {q}$。

虚功原理

虚功原理阐明，一个物理系统处于静态平衡（static equilibrium），若且唯若，所有施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所做的虚功的总和等于零。以方程式表达，

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$。

考虑一个由一群质点组成，呈静态平衡的物理系统，其内部任意一个质点$P_{i}$可能感受到很多个作用力。这些作用力的总和$\mathbf {F} _{i}^{(T)}$等于零：

$\mathbf {F} _{i}^{(T)}=0$。

给予这质点$P_{i}$ 虚位移$\delta \mathbf {r} _{i}$，则合力$\mathbf {F} _{i}^{(T)}$所做的虚功$\delta W_{i}$为零：

$\delta W_{i}=\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$。

总合这系统内做于每一个质点的虚功，其答案也是零：

$\delta W=\sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$。

将合力细分为外力$\mathbf {F} _{i}$与约束力$\mathbf {C} _{i}$：

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$。

假设所有约束力所做的符合约束条件的虚功，其总合是零：

$\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$，

则约束力项目可以从方程式中除去，从而得到虚功原理的方程式：

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$。

注意到这推论里的约束力假设。在这里，约束力就是牛顿第三定律的反作用力。因此，可以称此假设为反作用力的虚功假设：所有反作用力所做的符合约束条件的虚功，其总合是零。这是分析力学额外设立的假设，无法从牛顿运动定律推导出来。

在动力学里，虚功原理会被推广为达朗贝尔原理。这原理是拉格朗日力学的理论基础。更详尽细节，请参阅相关条目。

适用案例

在此特别列出几个案例，展示出约束力所做的符合约束条件的虚功的总合是零：

• 刚体的约束条件是一种完整约束，以方程式表达，$(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=L_{ij}^{2}$；其中，刚体内部的质点$P_{i}$、$P_{j}$的位置分别为$\mathbf {r} _{i}$、$\mathbf {r} _{j}$，它们之间的距离$L_{ij}$是个常数。所以，两个质点的虚位移$\delta \mathbf {r} _{i}$、$\delta \mathbf {r} _{j}$之间的关系为

$\delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=2(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})(\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0$。

在这里，有两种可能的状况：

1、$\delta \mathbf {r} _{i}=\delta \mathbf {r} _{j}$：

对于这状况，由于$\mathbf {C} _{ji}=-\mathbf {C} _{ij}$，两个作用力所做的虚功相互抵销，也就是说，

$\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=0$，

所以，约束力所做的虚功的总合是零。

2、$(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\perp (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})$ :

由于$\mathbf {C} _{ij}\ \|\ \mathbf {C} _{ji}\ \|\ (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})$，

$\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0$。

所以，约束力所做的虚功的总合是零。

所以，在刚体内，质点与质点之间的约束力所作的虚功的总合是零。

• 思考置放于平滑地面上的一块木块。因为木块的重量，而产生的反作用力，是地面施加于木块的一种约束力。注意到对于这案例，符合约束条件的虚位移必须与地面平行，所以，地面施加的约束力垂直于虚位移，它所作的虚功等于零。。

在位形空间的意义

将一般的作用力和坐标分别变换为以广义力${\mathcal {F}}_{i}$和广义坐标$q_{i}$表达，

$\delta W=\sum _{i}{\mathcal {F}}_{i}\delta q_{i}=0$。

设定一个$N$维位形空间，其坐标为$(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})$，其内中表示位置的点称为位形点。想像这物理系统移动于这位形空间。在这位形空间里，广义力${\boldsymbol {\mathcal {F}}}=(F_{1},F_{2},\dots ,F_{N})$垂直于符合约束条件的虚位移$\delta \mathbf {q} =(\delta q_{1},\delta q_{2},\dots ,\delta q_{N})$。

假设，这物理系统没有任何约束条件，则虚位移可以是任意向量。但是，广义力${\boldsymbol {\mathcal {F}}}$不可能垂直于$N$维位形空间里的每一个向量，所以，广义力${\boldsymbol {\mathcal {F}}}$必须等于零。

假设，这物理系统有$L$个约束条件，则自由度为$N-L$，位形点必需处于位形空间的某$N-L$维子空间，而广义力${\boldsymbol {\mathcal {F}}}$必须垂直于这子空间，因此必需使用$N-L$个运动方程式来表达这物理系统。

保守系统

假设这系统是保守系统，则每一个广义力都是纯量的广义位势函数$V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})$的对于其对应的广义坐标的负偏导数：

$F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}$。

虚功与广义位势的关系为

$\delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0$。

由于位势的变分$\delta V$等于零，一个静态平衡系统的位势$V$乃是个局域平稳值。注意到这系统只处于平稳状态。假设，要求这系统处于稳定状态，则位势$V$必须是个局域极小值。

参见

• 柔度法
• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学

外部链接

• 虚功原理的应用实例 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）