正圖形

**正圖形**
一些正幾何形狀的例子
; 正五邊形是一個多邊形，是一個正圖形，由5個邊組成的二維正多胞形，其施萊夫利符號為{5}	; 正十二面體是一個多面體，是一個正圖形，由12個正五邊形面組成的三維正多胞形，其施萊夫利符號為{5,3}
; 正一百二十胞體是一個四維多胞體，是一個正圖形，由120個正十二面體胞組成的四維正多胞形，其施萊夫利符號為{5,3,3}。（這裡展示的是施萊格爾圖像（英語：Schlegel diagram））	; 正方體堆砌是一個三維空間堆砌，可被看作是四維的無窮胞體，施萊夫利符號為{4,3,4}
	; 八維超正方體的256個頂點和1024條棱可以用正交投影來展示。（皮特里多邊形）

在幾何學中，正圖形或正幾何形狀（英語：Regular Geometric Shape）是一類具有高度對稱性的幾何結構。其中，若該幾何結構是由線段、平面或超平面的邊界構成則又可稱為正多胞形（英語：Regular polytope）。

和正圖形相對的概念為不規則圖形（Irregular Geometric Shape）或不規則幾何形狀、非正幾何形狀，其對稱性比正圖形低或無對稱性。在不規則圖形中，依照對稱性的高低又可以分為擬正圖形（Quasiregular）、半正圖形（英語：Semiregular_polytope）（Semiregular）、似正（英語：Demiregular tiling）圖形（Demiregular）、均勻圖形（英語：Uniform_polytope）（Uniform）等幾何結構。

正多胞形

正多胞形是一種對稱性對於標記可遞的幾何結構，且具有高度對稱性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如：點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，例如，正方體所有的面的面積及形狀皆相同，且皆為正方形，是一個二維正多胞形、所有邊的長度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方體是一個正圖形或正多胞形。對於所有元素，或叫j維面（對所有的 0 ≤ j ≤ n，其中n是該幾何體所在的維度） — 胞、面等等 — 也都對於多胞形的對稱性可遞，也是≤ n維的正圖形。

正圖形是正多邊形（例如：正方形或者正五邊形^[1] ）和正多面體（例如立方體）的向任意維度的推廣類比。正圖形極強的對稱性使它們擁有極強的審美價值，吸引着數學家和數學愛好者。

一般地，n維正圖形被定義為有正維面[(n − 1)-表面]和正頂點圖。這兩個條件已經能充分地保證所有面、所有頂點都是相似的。但要注意的是，這一定義並不適用於抽象多胞形（英語：abstract polytope）。

一個正圖形能用形式為{a, b, c, ...., y, z}的施萊夫利符號代表，其正的面為{a, b, c, ..., y}，頂點圖為{b, c, ..., y, z}。

分類和描述

正圖形最基礎的分類是按其維度。

它們能夠按照對稱性進一步分類。例如，正方體和正八面體有着相同的對稱性，同樣，正十二面體和正二十面體也是。事實上，對稱群大多依照正圖形命名，例如正四面體對稱群和正二十面體對稱群。

3種特殊類型的正圖形存在於所有維度：

單純形（正單形）
超方形（正測形）
正軸形（交叉形）

在二維，這裡有無窮多個正多邊形。在三維和四維這裡有許多上述三種之外的正多面體和正多胞體。在五維及以上維，只存在這三種類型的正圖形。另見正圖形列表。

正圖形的概念有時被擴展，使其包括了另外一些相關的幾何對象。其中一些有正的例子，下面「歷史發現」一章將會詳細說明。

施萊夫利符號

施萊夫利符號是一個簡潔有力的多面體表示法，是19世紀由路德維希·施萊夫利所發明的，一個改進了的版本隨後成為了標準。這種記號可通過維度依次增加一獲得最好的解釋。

一個有n條邊的凸正多邊形可以標記為{n}。所以一個等邊三角形是{3}，一個正方形是{4}……一個繞其中心旋轉m圈的正星形多邊形被標記為分式{n/m}，這裡n和m是互質的，例如正五角星是{5/2}。

一個有着面{n}，並且一個頂點處有p個面相交的正多面體標記為{n, p}。九個正多面體是：{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2}和{5/2, 5}。{p}就是這個正多面體的頂點圖。

一個有着胞{n, p}，並且每一條棱處有q個胞相交的正多胞體標記為{n, p, q}。其頂點圖為{p, q}。

一個五維正多胞體是{n, p, q, r}，等等。

正圖形的對偶性

正圖形的對偶形也是正圖形。對偶圖形的施萊夫利符號就是將原來的符號倒過來寫：{3,3}為自身對偶，{3,4}與{4,3}對偶，{4,3,3}與{3,3,4}對偶，以此類推。

正圖形的頂點圖的對偶即是其對偶圖形的維面。例如{3,3,4}的頂點圖是{3,4}，其對偶即是{4,3} — {4,3,3}的一個胞。

任何維的超方形和正軸形都是互相對偶的。

如果其施萊夫利符號是回文，即正反讀都一樣，那麼這個正圖形就是自身對偶的。自身對偶正圖形包括：

點
線段，{}。
所有的正多邊形，{a}。
所有的n-正單純形，{3,3,3,...,3,3,3}。
四維正多胞形正二十四胞體，{3,4,3}。
所有n維超方形堆砌，{4,3,3,...,3,3,4}。這些在多胞形學中被看作無窮多胞形。

正單純形

1-正單純形到 4-正單純形的圖像

線段	正三角形	正四面體	正五胞體

我們從點A開始。標下與A相距r的點B，並連接它們，形成線段。在垂直與它的第二維度標下與A、B都相距r的第三點C，並連接AC、BC，形成正三角形。在垂直與它的第三維度標下與三點都相距r的第四點D，連接四點，便形成正四面體。用同樣的方法，我們可以得到更高維的類似正圖形。

這些就是正單純形。以維度來排序，它們是：

0. 點

1. 線段

2. 正三角形（正三邊形）

3. 正四面體

4. 正五胞體或 4-單純形

5. 五維正六胞體或 5-單純形

... n-單純形有n+1個頂點。

超方形

2-超方形到 4-超方形的圖像

正方形	立方體	超正方體

從一個點A開始。連一條線到距離為r的B，形成一條線段。延伸第二條長為r的線，垂直於AB，將B連接到C，同樣鏈接A到D，形成一個正方形ABCD。從每個頂點同樣延伸出長為r的線，同時垂直於AB和BC，標記點E、F、G、H形成立方體ABCD-EFGH。用同樣的方法，我們可以得到更高維的類似正圖形。

它們就是超方形或稱正測形。以維度來排序，它們是：

0. 點

1. 線段

2. 正方形（正四邊形）

3. 立方體（正六面體）

4. 四維超正方體（正八胞體）或4-超方體

5. 五維超正方體（五維正十胞體）或5-超方體

...一個n-超方體有2ⁿ個頂點。

正軸形

2-正軸形到 4-正軸形的圖像

正方形	正八面體	正十六胞體

從一個點O開始。從O向兩個相反的方向延出兩條線到距O點距離為r的A和B，互相之間距離為2r，形成一條線段。同樣再畫線段COD，長度為2r，以O為中點而垂直於AB。連接4個頂點形成正方形ACBD。再畫線段EOF，同樣長度為2r，中點為O，同時垂直於AB和CD（即上下方向）。將其頂點與正方形頂點一一相連得到正八面體。用同樣的方法，我們可以得到更高維的類似正圖形。

這樣得到的圖形稱為正軸形或交叉形。以維度來排序，它們是：

0. 點

1. 線段

2. 正方形（正四邊形）

3. 正八面體

4. 正十六胞體或4-正軸形

5. 正三十二超胞體（五維正三十二胞體）或5-正軸形

...n-正軸形有2n個頂點。

正無窮胞體 — 無窮多胞形

參見

參考文獻

^ Regular Geometric Shapes (PDF). mommycrusader.com. [2019-04-13]. （原始內容 (PDF)存檔於2019-04-13）.

(Coxeter, 1948) Coxeter, H. S. M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948).
(Coxeter, 1974) Coxeter, H. S. M.; Regular Complex Polytopes, (Cambridge University Press, 1974).
(Coxeter, 1982) Coxeter, H. S. M.; Ten Toroids and Fifty-Seven hemi-Dodecahedra Geometrica Dedicata 13 pp87–99.
(Coxeter, 1984) Coxeter, H. S. M.; A Symmetrical Arrangement of Eleven hemi-Icosahedra Annals of Discrete Mathematics 20 pp103–114.
(Coxeter, 1999) Coxeter, H. S. M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F.; The Fifty-Nine Icosahedra (Tarquin Publications, Stradbroke, England, 1999)
(Cromwell, 1997) Cromwell, Peter R.; Polyhedra (Cambridge University Press, 1997)
(Euclid) Euclid, Elements, English Translation by Heath, T. L.; (Cambridge University Press, 1956).
(Grünbaum, 1977) Grünbaum, B.; Regularity of Graphs, Complexes and Designs, Problèmes Combinatoires et Théorie des Graphes, Colloquium Internationale CNRS, Orsay, 260 pp191–197.
(Grünbaum, 1994) B. Grünbaum, Polyhedra with hollow faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. ... (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic pp. 43–70.
(Hilbert, 1952) Hilbert, D.; Cohn-Vossen, S. Geometry and the imagination, (Chelsea, 1952) p144.
(Haeckel, 1904) Haeckel, E.; Kunstformen der Natur (1904). Available as Haeckel, E.; Art forms in nature (Prestel USA, 1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
(Lindemann, 1987) Lindemann F.; Sitzunger Bayerische Akademie Der Wissenschaften 26 (1987) pp625–768.
(McMullen, 2002) McMullen, P.; Schulte, S.; Abstract Regular Polytopes; (Cambridge University Press, 2002)
(Sanford, 1930) Sanford, V.; A Short History Of Mathematics, (The Riverside Press, 1930).
(Schläfli, 1855), Schläfli, L.; Reduction D'Une Integrale Multiple Qui Comprend L'Arc Du Cercle Et L'Aire Du Triangle Sphérique Comme Cas Particulières, Journal De Mathematiques 20 (1855) pp359–394.
(Schläfli, 1858), Schläfli, L.; On The Multiple Integral ∫ndx dy ... dz, Whose Limits Are $p_{1}=a_{1}x+b_{1}y+\cdots +h_{1}z\geq 0,$ $p_{2}>0,\ldots ,p_{n}>0$ and $x^{2}+y^{2}+\cdots +z^{2}<1$ Quarterly Journal Of Pure And Applied Mathematics 2 (1858) pp269–301, 3 (1860) pp54–68, 97–108.
(Schläfli, 1901), Schläfli, L.; Theorie Der Vielfachen Kontinuität, Denkschriften Der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 38 (1901) pp1–237.
(Shephard, 1952) Shephard, G.C.; Regular Complex Polytopes, Proc. London Math. Soc. Series 3, 2 (1952) pp82–97.
(Smith, 1982) Smith, J. V.; Geometrical And Structural Crystallography, (John Wiley and Sons, 1982).
(Van der Waerden, 1954) Van der Waerden, B. L.; Science Awakening, (P Noordhoff Ltd, 1954), English Translation by Arnold Dresden.
D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes
Olshevsky, George, Regular polytope at Glossary for Hyperspace.
Stella: Polyhedron Navigator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Tool for exploring 3D polyhedra, 4D polytopes, and printing nets
Ernst Haeckel's Kunstformen der Natur online (German)
Interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[1] Regular Geometric Shapes (PDF). mommycrusader.com. [2019-04-13]. （原始內容 (PDF)存檔於2019-04-13）.

[1]

閱論編正圖形
二維正多邊形	正三角形正四邊形正五邊形正六邊形正七邊形正八邊形正九邊形正十邊形正十一邊形正十二邊形 ...
三維正多面體	正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體
四維正多胞體	正五胞體正八胞體正十六胞體正二十四胞體正一百二十胞體正六百胞體
五維正多胞體	五維正六胞體五維正十胞體五維正三十二胞體