高斯判别法

高斯判别法是正项级数敛散性的一种判别方法，方法是将级数相邻项的比（${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$）写成${\frac {1}{n}}$的线性函数和余项（与有界量相乘的${\frac {1}{n^{2}}}$）之和，分析各系数来判断级数收敛与否，可以视作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法和贝特朗判别法的推论。

定理

设$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始）$a_{n}>0$。倘若其相邻项比值${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}$可以被表示为：

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}$

其中$\lambda$和$\mu$都是常数，而$\theta _{n}$是一个有界的序列，那么 ：

• 当 $\lambda >1$或$\lambda =1,\mu >1$时，级数收敛；
• 当$\lambda <1$或$\lambda =1,\mu \leq 1$时，级数发散。

证明：
$\lambda \neq 1$时，因$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {1}{\lambda }}$，可用达朗贝尔判别法判别； $\lambda =1$而$\mu \neq 1$时，因$\lim _{n\to \infty }{n({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1)}=\mu$，可用拉阿伯判别法判别； $\lambda =\mu =1$时，因$\lim _{n\to \infty }{\ln {({\frac {n^{2}a_{n}}{a_{n+1}}}-n^{2}-n)}}=\lim _{n\to \infty }{{\frac {\ln {n}}{n}}\theta _{n}}=0$，依据贝特朗判别法，级数发散。