贝特朗判别法

贝特朗判别法（英語：Bertrand's test）是正项级数敛散性的一种判别方法，分析通过级数项作成的形如$\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\ln {n}$序列的极限，可以更为精细地讨论级数的收敛性，可以看作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法或库默尔判别法的推论。

定理

设$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是欲判断敛散性的级数，定义序列

${\mathcal {B}}_{n}=\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\ln n.$

设它具有极限 $\lim _{n\to \infty }{{\mathcal {B}}_{n}}={\mathcal {B}}$

那么：

• 倘若${\mathcal {B}}>1$，级数收敛；
• 倘若${\mathcal {B}}<1$，级数发散；
• 倘若${\mathcal {B}}=1$，则级数的敛散性暂时不能确定。

证明

在库默尔判别法中取$c_{n}=n\ln n(n\geq 2)$，这样的选取是可以允许的，因为级数$\sum {\frac {1}{n\ln n}}$发散。

在这情形下有${\mathcal {K}}_{n}=n\ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln(n+1)$。

也可以表示成${\mathcal {K}}_{n}=\ln n\left[n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right]-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}={\mathcal {B}}_{n}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}$。

其中${\mathcal {B}}_{n}=\ln n\left[n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right]=\ln n\cdot \left({\mathcal {R}}_{n}-1\right)$，这就得到了贝特朗判别法。