自然对数

自然对数$\ln(x)$的函数图像

自然对数$\ln(x)$的积分定义

自然对数（英语：Natural logarithm）为以数学常数e为底数的对数函数，标记作$\ln x$或$\log _{e}x$，其反函数为指数函数$e^{x}$。

自然对数积分定义为对任何正实数$x$，由$1$到$x$所围成，$xy=1$曲线下的面积。如果$x$小于1，则计算面积为负数。

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\,$

$e$则定义为唯一的实数$x$使得$\ln x=1$。

自然对数一般表示为$\ln x\!$，数学中亦有以$\log x\!$表示自然对数。

历史

十七世纪

双曲线扇形是笛卡尔平面$\{(x,y)\}$上的一个区域，由从原点到${\textstyle (a,{\frac {1}{a}})}$和${\textstyle (b,{\frac {1}{b}})}$的射线，以及双曲线$xy=1$围成。在标准位置的双曲线扇形有$a=1$且$b>1$，它的面积为$\ln(b)$，此时双曲线扇形对应正双曲角。

当直角双曲线下的两段面积相等时，$x$的值呈等比数列，${\textstyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}=k}$，$y$的值也呈等比数列，${\textstyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}={\frac {1}{k}}}$。

约翰·纳皮尔在1614年以及约斯特·比尔吉在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数。当时还没出现有理数幂的概念，按后世的观点，约翰·纳皮尔的底数0.9999999^10000000相当接近${\textstyle {\frac {1}{e}}}$，而约斯特·比尔吉的底数1.0001¹⁰⁰⁰⁰相当接近自然对数的底数$e$。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，亨利·布里格斯建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部份完成了常用对数表的编制。

形如$f(x)=x^{p}$的曲线都有一个代数反导数，除了特殊情况$p=-1$对应于双曲线的弓形面积，即双曲线扇形；其他情况都由1635年发表的卡瓦列里弓形面积公式给出，其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成（抛物线的弓形面积），双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年圣文森特的格列高利将对数联系于双曲线$xy=1$的弓形面积，他发现x轴上$[a,b]$两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形同$[c,d]$对应的扇形，在${\textstyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$时面积相同，这指出了双曲线从$x=1$到$x=t$的积分$f(t)$满足：

$f(tu)=f(t)+f(u)\,$

1649年，萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将${\textstyle {\frac {1}{1+x}}}$展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。

十八世纪

大约1730年，欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为：

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},$

$\ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)$

1742年威廉·琼斯发表了现在的幂指数概念。

形式定义

欧拉定义自然对数为序列的极限：

$\ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right).$

$\ln(a)$正式定义为积分，

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

这个函数为对数是因满足对数的基本性质:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).\,\!$

这可以通过将定义了$\ln(ab)$的积分拆分为两部份，并在第二部份中进行换元$x=ta$来证实:

$\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}\;d(at)$

$=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).$

幂公式$\ln(t^{r})=r\ln(t)$可如下推出:

$\ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}d\left(u^{r}\right)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}\left(ru^{r-1}\,du\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{u}}\,du=r\ln(t).$

第二个等式使用了换元$u=x^{\frac {1}{r}}$。

自然对数还有在某些情况下更有用的另一个积分表示：

$\ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right).$

性质

• $\ln(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0\,$
• $\operatorname {ln} (-1)=i\pi \,$

(参见复数对数)

• $\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\,$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\,$
• $\ln(x^{y})=y\,\ln(x)\,$
• ${\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {for}}\quad x>0\,$
• $\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {for}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1\,$

证明
$\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)-\ln 1}{h}}={\frac {d}{dx}}\ln x{\Bigg |}_{x=1}=1$

导数

自然对数的图像和它在$x=1.5$处的切线。

$\ln(1+x)$的泰勒多项式只在$-1<x\leq 1$范围内有逐步精确的近似。

自然对数的导数为

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,$

证明一（微积分第一基本定理）:${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}$

证明二：按此影片（页面存档备份，存于互联网档案馆）

${\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln({\frac {x+h}{x}})}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad$

$=\lim _{h\to 0}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}$

设$u={\frac {h}{x}}\Rightarrow ux=h$

${\frac {1}{h}}={\frac {1}{ux}}$

${\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{ux}}$

$=\lim _{u\to 0}\ln \left[(1+u)^{\frac {1}{u}}\right]^{\frac {1}{x}}$

$={\frac {1}{x}}\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{u}}$

设$n={\frac {1}{u}}\Rightarrow u={\frac {1}{n}}$

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

$={\frac {1}{x}}\ln \left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]$

$={\frac {1}{x}}\ln e$

$={\frac {1}{x}}$

用自然对数定义的更一般的对数函数，$\log _{b}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}$，根据其逆函数即一般指数函数的性质，它的导数为：

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}.$

根据链式法则，以$f(x)$为参数的自然对数的导数为

${\frac {d}{dx}}\ln[f(x)]={\frac {f'(x)}{f(x)}}.$

右手端的商叫做$f$的对数导数，通过$\ln(f(x))$的导数的方法计算$f'(x)$叫做对数微分。

幂级数

自然对数的导数性质导致了$\ln(1+x)$在0处的泰勒级数，也叫做麦卡托级数：

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots$

对于所有$\left|x\right|\leq 1,$但不包括$x=-1.$

把$x-1$代入$x$中，可得到$\ln(x)$自身的级数。通过在麦卡托级数上使用欧拉变换，可以得到对绝对值大于1的任何$x$有效的如下级数:

$\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots \,.$

这个级数类似于贝利-波尔温-普劳夫公式。

还要注意到$x \over {x-1}$是自身的逆函数，所以要生成特定数$y$的自然对数，简单把$x \over {x-1}$代入$x$中。

$\ln {x}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n}}\left({x-1 \over x}\right)^{n}=\left({x-1 \over x}\right)+{1 \over 2}\left({x-1 \over x}\right)^{2}+{1 \over 3}\left({x-1 \over x}\right)^{3}+\cdots \,$

对于$\operatorname {Re} (x)\geq {\frac {1}{2}}\,.$

自然数的倒数的总和

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

叫做调和级数。它与自然对数有密切联系：当$n$趋于无穷的时候，差

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),$

收敛于欧拉-马歇罗尼常数。这个关系有助于分析算法比如快速排序的性能。

积分

自然对数通过分部积分法积分:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

假设:

$u=\ln(x)\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}$

$dv=dx\Rightarrow v=x\,$

所以:

${\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}$

自然对数可以简化形如$g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}$的函数的积分：$g(x)$的一个原函数给出为$\ln(\left\vert f(x)\right\vert )$。这是基于链式法则和如下事实:

$\ {d \over dx}\ln \left|x\right|={1 \over x}.$

换句话说，

$\int {1 \over x}dx=\ln |x|+C$

且

$\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

例子

下面是$g(x)=\tan x$的例子：

${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\sin x \over \cos x}\,dx\\&=\int {-{d \over dx}\cos x \over {\cos x}}\,dx.\\\end{aligned}}$

设$f(x)=\cos x$且$f'(x)=-\sin x$：

${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=-\ln {\left|\cos x\right|}+C\\&=\ln {\left|\sec x\right|}+C\\\end{aligned}}$

与双曲函数的关系

在直角双曲线(方程$y={\frac {1}{x}}$)下，双曲线三角形(黄色)，和对应于双曲角$u$的双曲线扇形(红色)。这个三角形的边分别是双曲函数中$\cosh$和$\sinh$的${\sqrt {2}}$倍。

射线出原点交单位双曲线$\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$于点$\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)$，这里的$\scriptstyle a$是射线、双曲线和$\scriptstyle x$轴围成的面积的二倍。对于双曲线上位于x轴下方的点，这个面积被认为是负值。

在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特介入双曲函数，并计算双曲几何中双曲三角形的面积。对数函数是在直角双曲线$xy=1$下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线$y=x$上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角$u$，在渐近线即x或y轴上需要有的$x$或$y$的值。显见这里的底边是$\left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}$，垂线是$\left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}$。

通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：

• $\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
• $\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线$xy=1$下双曲角的${\frac {1}{2}}$。

连分数

尽管自然对数没有简单的连分数，但有一些广义连分数如:

${\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\\\end{aligned}}$

这些连分数特别是最后一个对接近1的值快速收敛。但是，更大的数的自然对数，可以轻易的用这些更小的数的自然对数的加法来计算，带有类似的快速收敛。

例如，因为$2=1.25^{3}\times 1.024$，2的自然对数可以计算为:

${\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}$

进而，因为$10=1.25^{10}\times 1.024^{3}$，10的自然对数可以计算为:

${\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}$

复数对数

主条目：复数对数

指数函数可以扩展为对任何复数$x$得出复数值为$e^{x}$的函数，只需要简单使用$x$为复数的无穷级数；这个指数函数的逆函数形成复数对数，并带有正常的对数的多数性质。但是它涉及到了两个困难：不存在$x$使得$e^{x}=0$；并且有著$e^{2\pi i}=1=e^{0}$。因为乘法性质仍适用于复数指数函数，$e^{z}=e^{z+2n\pi i}$，对于所有复数$z$和整数$n$。

所以对数不能定义在整个复平面上，并且它是多值函数，就是说任何复数对数都可以增加$2\pi i$的任何整数倍而成为等价的对数。复数对数只能在切割平面上是单值函数。例如，$\log i={\frac {1}{2}}\pi i$或${\frac {5}{2}}\pi i$或$-{\frac {3}{2}}\pi i$等等；尽管$i^{4}=1$，$4\log =i$不能定义为$2\pi i$或$10\pi i$或$-6\pi i$，以此类推。

• 自然对数函数在复平面（主分支）上的绘图
• 
  z=Re(ln(x+iy))
• 
• 
• 
  前三图的叠加

主值定义

对于每个非0复数$z=x+yi$，主值$\log z$是虚部位于区间$(-\pi ,\pi ]$内的对数。表达式$\log 0$不做定义，因为没有复数$w$满足$e^{w}=0$。

要对$\log z$给出一个公式，可以先将$z$表达为极坐标形式，$z=re^{i\theta }$。给定$z$，极坐标形式不是确切唯一的，因为有可能向$\theta$增加$2\pi$的整数倍，所以为了保证唯一性而要求$\theta$位于区间$(-\pi ,\pi ]$内；这个$\theta$叫做幅角的主值，有时写为$\operatorname {arg} z$或$\operatorname {atan} 2(y,x)$。则对数的主值可以定义为 ：

$\operatorname {Log} z:={\text{ln }}r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\operatorname {ln} {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).$

例如，$\operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-{\frac {\pi i}{2}}$。

科学应用

自然指数有应用于表达放射衰变（放射性）之类关于衰减的过程，如放射性原子数目的微分方程$N$随时间变化率${\frac {dN}{dt}}=-pN$，常数$p$为原子衰变概率，积分得$N(t)=N(0)\exp(-pt)$。

延伸阅读

• John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
• Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
• Donald Sarason, Complex function theory （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.