反函數
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在數學裡,反函數,也称为逆函数(英語:Inverse function),為對一個定函數做逆運算的函數。
定义与存在性
設為一函數,其定義域為,陪域為。如果存在一函數,其定義域和陪域分別為,並對任意有 、對任意有,則稱為的反函數,記之為。[註 1]
若一函數有反函數,便稱此函數可逆。一函數可逆的充分必要条件是该函数为双射,即同时为单射和满射。[1]
若為一实函数,还可通過水平線測試判断其是否为单射、满射或双射。
与限制的关系
一部分函数尽管本身不可逆,但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。[2]例如
并不是单射,因和均为。但若取其到上的限制,则这一限制为双射,并拥有反函数
反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有周期性,如
这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数,则需要限定其定义域,如反正弦函数通常定义为正弦函数到上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域,称作其主值。
性質
- 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
- 原函数与其反函数的函数图像关于函数的图像对称。
- 严格单调函数一定存在反函数,且反函数与原函数的单调性一致。
- 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数,例如
注释
参考资料
- ^ Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30 [2023-12-29]. ISBN 978-1-4471-0619-7. (原始内容存档于2023-12-29).
- ^ Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4.