海森堡绘景

维尔纳·海森堡

海森堡绘景（Heisenberg picture）是量子力学的一种表述，因物理学者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡绘景里，对应于可观察量的算符会随著时间流易而演化，而描述量子系统的态向量则与时间无关。使用海森堡绘景，可以很容易地观察到量子系统与经典系统之间的动力学关系。

海森堡绘景与薛丁格绘景、狄拉克绘景不同。在薛丁格绘景里，描述量子系统的态向量随著时间流易而演化，而像位置、动量一类的对应于可观察量的算符则不会随著时间流易而演化。在狄拉克绘景里，态向量与对应于可观察量的算符都会随著时间流易而演化。

这三种绘景殊途同归，所获得的结果完全一致。这是必然的，因为它们都是在表达同样的物理现象。

概述

为了便利分析，位于下标的符号${}_{\mathcal {H}}$、${}_{\mathcal {S}}$分别标记海森堡绘景、薛丁格绘景。

在量子力学的海森堡绘景里，态向量$|\psi \rangle _{\mathcal {H}}$不含时，而可观察量的算符$A_{\mathcal {H}}$则含时，并且满足“海森堡运动方程式”：

${\frac {\partial }{\partial {t}}}A_{\mathcal {H}}={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal {H}},\,H]$；

其中，$\hbar$是约化普朗克常数，$H$是哈密顿量，$[A_{\mathcal {H}},\,H]$是$A_{\mathcal {H}}$与$H$的对易算符。

从某种角度来看，海森堡绘景比薛丁格绘景显得更为自然，更具有基础性，因为，经典力学分析物体运动所使用的物理量是可观察量，例如，位置、动量等等，而海森堡绘景专注的就是这些可观察量随著时间流易的演化。进一步来看，海森堡绘景表述的量子力学与经典力学的相似可以很容易的观察到：只要将对易算符改为帕松括号，海森堡方程式立刻就变成了哈密顿力学里的运动方程式，其形式表示为

${\frac {\partial }{\partial {t}}}A=[A,\,H]_{Poisson}$；

其中，$[\ ,\,\ ]_{Poisson}$是帕松括号。

通过狄拉克量子化条件，可以从哈密顿力学的运动方程式得到海森堡运动方程式：

$[\ ,\,\ ]_{Poisson}\ \to \ {\frac {[\ ,\,\ ]}{i\hbar }}$。

史东-冯诺伊曼理论证明海森堡绘景与薛丁格绘景是等价的。

理论导引

在薛丁格绘景里，负责时间演化的算符是一种幺正算符，称为时间演化算符。假设时间从$0$流易到$t$，而经过这段时间间隔，态向量$|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$演化为$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}$，这时间演化过程以方程式表示为

$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=U(t,0)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$；

其中，$U(t,0)$是时间从$0$流易到$t$的时间演化算符。

时间演化算符是幺正算符：

$U(t,0)U^{\dagger }(t,0)=1=U^{\dagger }(t,0)U(t,0)$。

假设系统的哈密顿量$H$不含时，则时间演化算符为

$U(t,0)=e^{-iHt/\hbar }$，

而且，时间演化算符与哈密顿量相互对易：

$HU(t,0)=U(t,0)H$。

注意到指数函数$e^{-iHt/\hbar }$必须通过其泰勒级数计算。

在海森堡绘景里，态向量$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}$、算符$A_{\mathcal {H}}(t)$分别定义为

$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$、

$A_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)$。

由于$U(t,0)$、$U^{\dagger }(t,0)$对于时间的偏导数分别为

${\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}={1 \over i\hbar }HU(t,0)$、

${\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }(t,0)H$。

所以，算符$A_{\mathcal {H}}(t)$对于时间的导数是

${\begin{aligned}{d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)&={\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}A_{\mathcal {S}}U(t,0)+U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}{\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HA_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}HU\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HUU^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}UU^{\dagger }HU\\&={1 \over i\hbar }[U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U,U^{\dagger }HU]\\\end{aligned}}$。

由于不含时哈密顿量在海森堡绘景的形式与在薛丁格绘景相同，可以忽略下标：

$H_{\mathcal {H}}=U^{\dagger }H_{\mathcal {S}}U=H_{\mathcal {S}}=H$。

将算符的定义式纳入考量，就可以得到海森堡运动方程式：

${d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal {H}}(t),H]$。

期望值

在薛丁格绘景里，可观察量$A$的期望值为

$\langle A\rangle _{\mathcal {S}}={}_{\mathcal {S}}\langle \psi (t)|A_{\mathcal {S}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}={}_{\mathcal {S}}\langle \psi (0)|U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$。

在海森堡绘景里，可观察量$A$的期望值为

$\langle A\rangle _{\mathcal {H}}={}_{\mathcal {H}}\langle \psi (t)|A_{\mathcal {H}}(t)|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}={}_{\mathcal {H}}\langle \psi (0)|A_{\mathcal {H}}(t)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}$。

注意到态向量$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}$、算符$A_{\mathcal {H}}(t)$的定义式：

$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$、

$A_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)$。

所以，这两种期望值的表述方式等价。

贝克-豪斯多夫引理

算符$A_{\mathcal {H}}(t)$的定义式涉及到指数函数$e^{-iHt/\hbar }$，必须通过其泰勒级数计算，这是个很繁杂的过程，可以利用贝克-豪斯多夫引理来计算

${e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots$。

对于算符$A_{\mathcal {H}}(t)$，可以得到

$A_{\mathcal {H}}(t)=A_{\mathcal {H}}(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,A_{\mathcal {H}}(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A_{\mathcal {H}}(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A_{\mathcal {H}}(0)]]]+\cdots$。

由于帕松括号与对易算符的关系，在哈密顿力学里，这方程式也成立。

自由粒子范例

本节运算只涉及海森堡绘景，为了简便起见，忽略下标${\mathcal {H}}$。设想自由粒子系统，其哈密顿量为

$H={\frac {p^{2}}{2m}}$。

动量$p$的海森堡运动方程式为

${d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p,H]=0$。

这是因为$p$与$H$对易。所以，动量$p$是个常数：

$p(t)=p(0)$。

位置$x$的海森堡运动方程式为

${d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x,H]={\frac {p}{m}}$。

所以，位置与时间的关系式为

$x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t$。

换另一种方法，算符随著时间流易而演化的方程式为

$x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }$。

利用贝克-豪斯多夫引理，

$x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,x(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,x(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots$。

注意到以下两个对易关系式：

$[H,x(0)]={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}$、

$[H,p(0)]=0$。

将这两个对易关系式代入，可以得到同样的位置与时间的关系式：

$x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t$。

注意到位置在不同时间的对易子不等于零：

$[x(t),x(0)]=\left[{\frac {p(0)t}{m}},x(0)\right]={\frac {-i\hbar t}{m}}$。

谐振子范例

本节运算只涉及海森堡绘景，为了简便起见，忽略下标${\mathcal {H}}$。设想谐振子系统，其哈密顿量为

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}$；

其中，$\omega$为谐振子频率。

动量算符$p$、位置算符$x$的海森堡运动方程式分别为

${d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p(t),H]=-m\omega ^{2}x(t)$、

${d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x(t),H]={\frac {p(t)}{m}}$。

再求这两个方程式对于时间的导数，

${d^{2} \over dt^{2}}p(t)={-m\omega ^{2} \over i\hbar }[x(t),H]=-\omega ^{2}p(t)$、

${d^{2} \over dt^{2}}x(t)={1 \over im\hbar }[p(t),H]=-\omega ^{2}x(t)$。

设定动量算符、位置算符的初始条件分别为

$p(0)=p_{0}$、

$x(0)=x_{0}$。

则在初始时间，

${\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0}$、

${\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}}$。

所以，二次微分方程式的解答分别是

$p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)$、

$x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{m\omega }}\sin(\omega t)$。

稍加运算，可以得到海森堡绘景里的对易关系：

$[p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})$、

$[x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})$、

$[x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})$。

假若$t_{1}=t_{2}$，则立刻会得到熟悉的正则对易关系。

换另一种方法，算符随著时间流易而演化的方程式为

$x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }$。

利用贝克-豪斯多夫引理，

$x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,x(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,x(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots$。

注意到以下两个对易关系式：

$[H,x(0)]={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}$、

$[H,p(0)]=i\hbar m\omega ^{2}x(0)$。

将这两个对易关系式代入，可以得到同样的位置与时间的关系式：

${\begin{aligned}x(t)&=x(0)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\omega t-x(0){\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2!}}-{\frac {p(0)}{m\omega }}{\frac {\omega ^{3}t^{3}}{3!}}+\cdots \\&=x(0)\cos(\omega t)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\sin(\omega t)\\\end{aligned}}$。

类似地,也可以得到同样的动量与时间的关系式。

各种绘景比较摘要

各种绘景随著时间流易会呈现出不同的演化：

演化	海森堡绘景	交互作用绘景	薛丁格绘景
右矢	常定	$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}$	$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$
可观察量	$A_{\mathcal {H}}(t)=e^{iHt/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iHt/\hbar }$	$A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iH_{0}t/\hbar }$	常定
密度算符	常定	$\rho _{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0}/\hbar }$	$\rho _{\mathcal {S}}(t)=e^{-iHt/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(0)e^{iHt/\hbar }$

延伸阅读

• Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Frank Laloe. Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. 1977: 312–314. ISBN 047116433X. 

参阅

• 狄拉克标记