薛丁格繪景

埃爾溫·薛丁格

薛丁格繪景（Schrödinger picture）是量子力學的一種表述，為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏，量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏，態向量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從$t_{0}$流易到$t$，而經過這段時間間隔，態向量$|\psi (t_{0})\rangle$演化為態向量$|\psi (t)\rangle$，這時間演化過程以方程式表示為

$|\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$；

其中，$U(t,t_{0})$是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量$H$不含時，則時間演化算符為

$U(t,t_{0})=e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }$；

其中，$\hbar$是約化普朗克常數，指數函數$e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }$必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書裏，時常會使用薛丁格繪景。

時間演化算符

定義

時間演化算符$U(t,\,t_{0})$定義為

$|\psi (t)\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$；

其中，右矢$|\psi (t)\rangle$表示時間為$t$的態向量，$U(t,\,t_{0})$是時間演化算符，從時間$t$演化到時間$t_{0}$。

這方程式可以做這樣解釋：將時間演化算符$U(t,\,t_{0})$作用於時間是$t_{0}$的態向量$|\psi (t_{0})\rangle$，則會得到時間是$t$的態向量$|\psi (t)\rangle$。

類似地，也可以用左矢$\langle \psi |$來定義：

$\langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,\,t_{0})$；

其中，算符$U^{\dagger }$是算符$U$的厄米共軛。

性質

幺正性

由於態向量必須滿足歸一條件，態向量的範數不能隨時間而變：

$\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$。

可是，

$\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,\,t_{0})U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$。

所以，

$U^{\dagger }(t,\,t_{0})U(t,\,t_{0})=I$ ;

其中，$I$是單位算符。

單位性

時間演化算符$U(t_{0},\,t_{0})$必須是單位算符$U(t_{0},\,t_{0})=I$，因為，

$|\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$。

閉包性

從初始時間$t_{0}$到最後時間$t$的時間演化算符，可以視為從中途時間$t_{1}$到最後時間$t$的時間演化算符，乘以從初始時間$t_{0}$到中途時間$t_{1}$的時間演化算符：

$U(t,\,t_{0})=U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})$。

根據時間演化算符的定義，

$|\psi (t_{1})\rangle =U(t_{1},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$，

$|\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{1})|\psi (t_{1})\rangle$。

所以，

$|\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$。

可是，再根據定義，

$|\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$。

所以，時間演化算符必須滿足閉包性：

$U(t,\,t_{0})=U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})$。

時間演化算符的微分方程式

為了方便起見，設定$t_{0}=0$，初始時間$t_{0}$永遠是$0$，則可忽略時間演化算符的$t_{0}$參數，改寫為$U(t)$。含時薛丁格方程式為

$i\hbar {\partial \over \partial t}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle$；

其中，$H$是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式，可以得到

$i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle$。

由於$|\psi (0)\rangle$可以是任意恆定態向量（處於$t=0$的態向量），時間演化算符必須遵守方程式

$i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t)$。

假若哈密頓量不含時，則這方程式的解答為

$U(t)=e^{-iHt/\hbar }$。

注意到在時間$t=0$，時間演化算符必須約化為單位算符$U(0)=I$。由於$H$是算符，指數函數$e^{-iHt}$必須通過其泰勒級數計算：

$e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots$。

按照時間演化算符的定義，在時間$t$，態向量為

$|\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle$。

注意到$|\psi (0)\rangle$可以是任意態向量。假設初始態向量$|\psi (0)\rangle$是哈密頓量的本徵態，而本徵值是$E$，則在時間$t$，態向量為

$|\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle$。

這樣，可以看到哈密頓量的本徵態是定態，隨著時間的流易，只有相位因子在進行演化。

假設，哈密頓量與時間有關，但在不同時間的哈密頓量相互對易，則時間演化算符可以寫為

$U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)$。

假設，哈密頓量與時間有關，而在不同時間的哈密頓量不相互對易，則時間演化算符可以寫為

$U(t)=T\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)$；

其中，$T$是時間排序算符。

必須用戴森級數來表示，

$U(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{n}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int _{0}^{t_{n-1}}dt_{n}H(t_{1})H(t_{2})\dots H(t_{n})$。

各種繪景比較摘要

為了便利分析，位於下標的符號${\mathcal {H}}$、${\mathcal {I}}$、${\mathcal {S}}$分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：

演化	海森堡繪景	交互作用繪景	薛丁格繪景
右矢	常定	$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}$	$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$
可觀察量	$A_{\mathcal {H}}(t)=e^{iHt/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iHt/\hbar }$	$A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iH_{0}t/\hbar }$	常定
密度算符	常定	$\rho _{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0}t/\hbar }$	$\rho _{\mathcal {S}}(t)=e^{-iHt/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(0)e^{iHt/\hbar }$

參閱

• 哈密頓-亞可比方程式

參考文獻

• Shankar, R. Principles of Quantum Mechanics 2. Springer. 1994. ISBN 978-0306447907.