位置算符

在量子力學裏，位置算符（position operator）是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記，位置算符 ${\hat {x}}$ 的本徵態 $|x\rangle$ 滿足方程式

${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle$ ；

其中，$x$ 是本徵值，是量子態為 $|x\rangle$ 的粒子所處的位置，$x$ 只是一個數值。

位置空間表現

設定量子態 $|\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$ 。量子態 $|\Psi \rangle$ 、$|\psi \rangle$ 的位置空間表現，即波函數，分別定義為

$\Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle$ 、

$\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle$ 。

在位置空間裡，定義算符 ${\hat {\mathfrak {x}}}$ 為

${\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ x\psi (x)$ 。

在位置空間裡，使用連續本徵態 $|x'\rangle$ 所組成的基底，任意量子態 $|\psi \rangle$ 展開為

$|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle$ 。

將量子算符 ${\hat {x}}$ 作用於量子態 $|\psi \rangle$ ，可以得到

${\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ x'|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ x'\psi (x')|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')|x'\rangle$ 。

應用狄拉克正交歸一性，$\langle x|x'\rangle =\delta (x-x')$ ，這方程式與左矢 $\langle x|$ 的內積為

$\langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')\langle x|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')\delta (x-x')={\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)$ 。

量子態 $|\Psi \rangle$ 的展開式為

$\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')|x'\rangle$ 。

應用狄拉克正交歸一性，這方程式與左矢 $\langle x|$ 的內積為

$\langle x|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')\langle x|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')\delta (x-x')=\Psi (x)$ 。

所以，兩個波函數 $\Psi (x)$ 、$\psi (x)$ 之間的關係為

$\Psi (x)={\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)$ 。

總結，位置算符 ${\hat {x}}$ 作用於量子態 $|\psi \rangle$ 的結果 $|\Psi \rangle$ ，表現於位置空間，等價於波函數 $\psi (x)$ 與 $x$ 的乘積 $\Psi (x)$ 。位置算符 ${\hat {x}}$ 的位置空間表現是位算符 ${\hat {\mathfrak {x}}}$ ，可以稱算符 ${\hat {\mathfrak {x}}}$ 為位置算符。

本徵函數

假設，在位置空間裡，位置算符 ${\hat {\mathfrak {x}}}$ 的本徵值為 $q$ 的本徵函數是 $g_{q}(x)$ 。用方程式表達，

${\hat {\mathfrak {x}}}g_{q}(x)=qg_{q}(x)$ 。

這方程式的一般解為，

$g_{q}(x)=g_{0}\delta (x-q)$ ；

其中，$g_{0}$ 是常數，$\delta (x-q)$ 是狄拉克δ函數。

注意到 $g_{q}(x)$ 無法歸一化：

$\int _{-\infty }^{\infty }\ g_{q}^{*}(x)g_{q}(x)\ dx=|g_{0}|^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\ \delta ^{2}(x-q)\ dx={\mbox{?}}$ 。

設定 $g_{0}=1$ ，函數 $g_{q}(x)$ 滿足下述方程式：

$\int _{-\infty }^{\infty }\ g_{q1}^{*}(x)g_{q2}(x)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \delta (x-q1)\delta (x-q2)\ dx=\delta (q1-q2)$ 。

這性質不是普通的正交歸一性，這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質，位置算符的本徵函數具有完備性，也就是說，任意波函數 $\psi (x)$ 都可以表達為本徵函數的線性組合：

$\psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi (q)g_{q}(x)\ dq$ 。

雖然本徵函數 $g_{q}(x)$ 所代表的量子態是無法實際體現的，並且嚴格而論，不是一個函數，它可以視為代表一種理想量子態，這種理想量子態具有準確的位置 $q$ ，因此，根據不確定性原理，這種理想量子態的動量呈均勻分佈。

期望值

採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是 ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )$ ，是實值定義域的平方可積函數的空間。兩個態向量的內積是

$\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)\,\mathrm {d} x$ 。

對於任意量子態 $\psi$ ，可觀察量 $x$ 的期望值為

$\langle x\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle$ 。

位置算符 ${\hat {x}}$ 作用於量子態 $|\psi \rangle$ 的結果，表現於位置空間，等價於波函數 $\psi (x)$ 與 $x$ 的乘積，所以，

$\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }x\,|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x$ 。

粒子處於 $x$ 與 $x+dx$ 微小區間內的機率是

$p(x)\mathrm {d} x=\psi ^{*}(x)\psi (x)\mathrm {d} x$ 。

粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。

三維案例

推廣至三維空間相當直截了當，參數為三維位置 $\mathbf {r}$ 的波函數為 $\psi (\mathbf {r} )$ ，位置的期望值為

$\langle \mathbf {r} \rangle =\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} |\psi (\mathbf {r} )|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$ ；

其中，$\mathbb {V}$ 是積分體積。

位置算符 $\mathbf {\hat {\mathfrak {r}}}$ 的作用為

$\mathbf {\hat {\mathfrak {r}}} \psi =\mathbf {r} \psi$ 。

對易關係

位置算符與動量算符的對易算符，當作用於波函數時，會得到一個簡單的結果：

$[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi$ 。

所以，$[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar$ 。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。${\hat {x}}$ 與 ${\hat {p}}$ 絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言，${\hat {x}}$ 的本徵態與 ${\hat {p}}$ 的本徵態不同。

根據不確定性原理，

$\Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right|$ 。

由於 $x$ 與 $p$ 是兩個不相容可觀察量，$\left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2$ 。所以，$x$ 的不確定性與 $p$ 的不確定性的乘積 $\Delta x\ \Delta p$ ，必定大於或等於 $\hbar /2$ 。