主题:几何学/特色条目

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特色条目列表

特色条目 1

Portal:几何学/特色条目/1

勾股定理（英語：Pythagorean theorem）又称商高定理、畢達哥拉斯定理、毕氏定理、百牛定理，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。

据《周髀算經》中记述，公元前一千多年周公与商高论数的对话中，商高就以三四五3个特定数为例详细解释了勾股定理要素，其一，“以为句广三，股修四，径隅五”。其二，“既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”首先肯定一个底宽为三，高为四的直角三角形，弦长必定是五。最重要的是紧接着论证了弦长平方必定是两直角边的平方和，确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法后世不明其法而被忽略。

此外，《周髀算经》中明确记载了周公后人陈子叙述的勾股定理公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”。

赵爽在《周髀算經注》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦”。

古埃及在公元前2600年的纸莎草就有（3,4,5）这一组勾股数，而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（18541，12709，13500）。

古希腊发现勾股定理的是毕达哥拉斯，所以勾股定理又称畢達哥拉斯定理。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝（百牛大祭），因此又稱百牛定理。但这个说法显然是以讹传讹，众所周知毕达哥拉斯主义者在古代以素食闻名。

有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理，但驴桥定理就是等邊對等角，是指等腰三角形的二底角相等，非勾股定理。

特色条目 2

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在幾何學中，正圖形又稱正多胞形（英語：Regular polytope），即正幾何圖形，是一種對稱性对于標記可递的幾何體，且具有高度對稱性，對於該幾何體內所有同維度的元素(如:點、線、面)都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，例如，正方體所有的面的面積及形狀皆相同，且皆為正方形，是一個二維正多胞形、所有邊的長度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方體是一個正圖形或正多胞形。對於所有元素，或叫j維面(對所有的 0 ≤ j ≤ n，其中n是該幾何體所在的維度) — 胞、面等等 — 也都对于多胞形的对称性可递，也是≤ n维的正圖形。

正图形是正多边形（例如，正方形或者正五边形)和正多面体（例如立方体）的向任意维度的推广类比。正图形极强的对称性使它们拥有极强的审美价值，吸引着数学家和数学爱好者。

一般地，n维正图形被定义为有正维面[(n − 1)-表面]和正顶点图。这两个条件已经能充分地保证所有面、所有顶点都是相似的。但要注意的是，这一定义并不适用于抽象多胞形。

一个正图形能用形式为{a, b, c, ...., y, z}的施莱夫利符号代表，其正的面为{a, b, c, ..., y}，顶点图为{b, c, ..., y, z}。

特色条目 3

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三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数（$\sin$）、余弦函数（$\cos$）和正切函数（$\tan$或者$\operatorname {tg}$）。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

特色条目 4

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《幾何原本》（希臘語：Στοιχεῖα）是古希臘數學家歐幾里得在公元前3世紀在埃及所著的一部數學著作，共13卷。它包括一系列定義，假設（公理），命題（定理）及其證明。歐幾里得的書是在歐幾里德幾何的領域，以及古希臘版數論。《幾何原本》是幾何中最古老的公理演繹理論之一，已被證明在邏輯和現代科學的發展中起了重要作用。

它被認為是最成功的教科書之一：《幾何原本》是第一本要出版的書之一，並且僅次於《聖經》，出版的版本數量超過1000種。幾個世紀以來，當所有大學生的課程都被納入時，所有學生都要求至少部分歐幾里德幾何原本的知識。直到20世紀才被認為是所有受過教育的人都讀過的東西。 它仍然（雖然很少）用作今天的幾何學基本介紹。

這本著作是在四庫全書中為子部天文演算法算書類。

特色条目 5

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正多面體，或稱柏拉圖立體， 指各面都是全等的正多邊形且每一個頂點所接的面數都是一樣的凸多面體。這些是凸規則正多邊形的三維類似物。正好有五個這樣的數字（如右圖所示）。每個數字的名稱來自其面數：分別為4,6,8,12和20.它們的獨特之處在於側面，邊緣和角度都是全等的。

由於它們的審美美感和對稱性，柏拉圖立體已成為幾千年來幾何學家们的一個最喜歡的主題。他們以古希臘哲學家柏拉圖命名，聲稱古典元素是從正多面體構建的。

正多面體的別稱柏拉圖立體是因柏拉圖而命名的。柏拉圖的朋友泰阿泰德告訴柏拉圖這些立體，柏拉圖便將這些立體寫在《蒂邁歐篇》(Timaeus) 內。正多面體的作法收錄《几何原本》的第13卷。在命題13描述正四面體的作法；命題14為正八面體作法；命題15為立方體作法；命題16則是正二十面體作法；命題17則是正十二面體作法。

特色条目 6

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仿射聯絡是微分幾何中定義在流形上的幾何概念，連接了鄰近幾點上的切空間，使得在流形上的切向量場可以求導。仿射聯絡的概念起源於19世紀的幾何學和張量微積分，但那時並沒有被完備的定義出來。直到1920年，（用於嘉当联络（Cartan connection）理論）及Hermann Weyl（做為廣義相對論的基礎理論）。這專門術語是沿用嘉当(Cartan)所使用的術語及根據從歐幾里德空間Rⁿ中切空間的推廣。換句話說，仿射聯絡的概念是為了推廣歐幾里德空間，使得流形上每點都有一個光滑的（可無限求導）仿射空間。

任何維數為正數的流形都會有無窮個仿射聯絡。仿射聯絡能用來決定在向量場上求導，並滿足線性及萊布尼茲法則的方法，這表明了仿射聯絡有幾個可行的方法，像是協變導數或在向量叢上的聯絡。仿射聯絡也能用來決定在切向量沿著一條曲線平行移動的方式，或者用來決定標架叢的平行移動。仿射聯絡也可以用來決定流形上的測地線，推廣了歐幾里德空間中直線的概念。

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