雙曲複數

雙曲複數乘法表

×	1	j
1	1	j
j	j	1

雙曲複數（英語：hyperbolic numbers或Split-complex number），是異於複數而對實數所做的推廣。

定義

考慮數$z=x+jy$，其中$x,y$是實數，而量$j$不是實數，但$j^{2}$是實數。

選取$j^{2}=-1$，得到一般複數。取$+1$的話，便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的加法和乘法如下，使之符合交換律、結合律和分配律：

$(x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)$

$(x+jy)(u+jv)=(x+jy)(u)+(x+jy)(jv)=xu+jyu+jxv+j^{2}yv=(xu+yv)+j(xv+yu)$

共軛、範數

對於$z=x+jy$，其共軛值$z^{*}=x-jy$。對於任何雙曲複數$z,w$，

$(z+w)^{*}=z^{*}+w^{*}$

$(zw)^{*}=z^{*}w^{*}$

$(z^{*})^{*}=z$

可見它是自同構的。

定義內積為 $\langle z,w\rangle =Re(zw^{*})=Re(zw^{*})=xu-yv$ 。若$\langle z,w\rangle =0$ ，說$z,w$（雙曲）正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：

$\lVert z\rVert =\langle z,z\rangle =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}$。

這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變：$\lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert$。

除法

除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

$z^{-1}={\frac {1}{z}}={\frac {z^{*}}{zz^{*}}}={\frac {z^{*}}{\lVert z\lVert }}$

由此可見，雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為$k(1\pm j)$，其中$k$是實數。

基

雙曲複數的冪等元有：

列方程$(x+jy)^{2}=(x^{2}+y^{2})+2xyj$。有四個解：$1,0,s=(1-j)/2,s^{*}=(1+j)/2$。

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。$z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^{*}$ 。

若將$z=ae+be^{*}$表示成$(a,b)$，雙曲複數的乘法可表示成$(a,b)(c,d)=(ac,bd)$ 。因此，在這個基裏，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為$(a,b)^{*}=(b,a)$，範數$\lVert (a,b)\rVert =ab$。

幾何

有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間，表示為R^1,1。正如歐几里得平面R²的幾何學可以複數表示，閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

在R，對於非零的$a$，點集 $\{z:\lVert z\lVert =a^{2}\}$ 是雙曲線。左邊和右邊的會經過$a$和$-a$。$a=1$稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是$\{z:\lVert z\lVert =-a^{2}\}$ ，會分別經過$ja$和$-ja$。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 $\{z:\lVert z\lVert =0\}$ 分開。

歐拉公式的相應版本是$e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )$。

歷史

1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。

20世紀，雙曲複數成為描述狹義相對論的勞侖茲變換的工具，因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。