双曲复数

双曲复数乘法表

×	1	j
1	1	j
j	j	1

双曲复数（英语：hyperbolic numbers或Split-complex number），是异于复数而对实数所做的推广。

定义

考虑数$z=x+jy$，其中$x,y$是实数，而量$j$不是实数，但$j^{2}$是实数。

选取$j^{2}=-1$，得到一般复数。取$+1$的话，便得到双曲复数。

定义双曲复数的加法和乘法如下，使之符合交换律、结合律和分配律：

$(x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)$

$(x+jy)(u+jv)=(x+jy)(u)+(x+jy)(jv)=xu+jyu+jxv+j^{2}yv=(xu+yv)+j(xv+yu)$

共轭、范数

对于$z=x+jy$，其共轭值$z^{*}=x-jy$。对于任何双曲复数$z,w$，

$(z+w)^{*}=z^{*}+w^{*}$

$(zw)^{*}=z^{*}w^{*}$

$(z^{*})^{*}=z$

可见它是自同构的。

定义内积为 $\langle z,w\rangle =Re(zw^{*})=Re(zw^{*})=xu-yv$ 。若$\langle z,w\rangle =0$ ，说$z,w$（双曲）正交。

双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积，即自身和其共轭值之乘积（闵可夫斯基范数）：

$\lVert z\rVert =\langle z,z\rangle =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}$。

这个范数非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不变：$\lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert$。

除法

除了0之外，也不是每个双曲复数都有乘法逆元。

$z^{-1}={\frac {1}{z}}={\frac {z^{*}}{zz^{*}}}={\frac {z^{*}}{\lVert z\lVert }}$

由此可见，双曲复数可逆当且仅当其平方范数非零。其形式均为$k(1\pm j)$，其中$k$是实数。

基

双曲复数的幂等元有：

列方程$(x+jy)^{2}=(x^{2}+y^{2})+2xyj$。有四个解：$1,0,s=(1-j)/2,s^{*}=(1+j)/2$。

s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的基。$z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^{*}$ 。

若将$z=ae+be^{*}$表示成$(a,b)$，双曲复数的乘法可表示成$(a,b)(c,d)=(ac,bd)$ 。因此，在这个基里，双曲复数的加法和乘法和直和R⊕R同构。

共轭可表示为$(a,b)^{*}=(b,a)$，范数$\lVert (a,b)\rVert =ab$。

几何

有闵可夫斯基内积的二维实向量空间称为1+1闵可夫斯基空间，表示为R^1,1。正如欧几里得平面R²的几何学可以复数表示，闵可夫斯基空间的几何学可以双曲复数表示。

在R，对于非零的$a$，点集 $\{z:\lVert z\lVert =a^{2}\}$ 是双曲线。左边和右边的会经过$a$和$-a$。$a=1$称为单位双曲线。

共轭双曲线是$\{z:\lVert z\lVert =-a^{2}\}$ ，会分别经过$ja$和$-ja$。双曲线和共轭双曲线会被成直角的两条渐近线 $\{z:\lVert z\lVert =0\}$ 分开。

欧拉公式的相应版本是$e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )$。

历史

1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金顿·克利福德以双曲复数表示自旋和。

20世纪，双曲复数成为描述狭义相对论的劳仑兹变换的工具，因为不同参考系之间的速度变换可由双曲旋转表达。