素点
素点,也叫位,英文单词为Place(s)。
十九世纪的数学家确定了代数数是复数一种类型[來源請求] ,这使在1897年亨泽尔发现P-adic数。一个数域所有的各种可能的嵌入都正好可对应该次嵌入拓扑完备化。一个数域F上的素点本质是F一个绝对赋值的等价类,用来度量F元素的大小。两个这样的绝对赋值都认为是等价的:如果一些元素的大小在一种度量下一样大小(或逼近)。在一般情况下,他们可分为三类,首先平凡绝对赋值| |0, 数域F中零元素的平凡绝对赋值总为0,所有非零元素的平凡绝对赋值总为1。第二类和第三类是阿基米德绝对赋值(阿基米德素点)和非阿基米德绝对赋值(非阿基米德素点)(或超度量),在一个素点完备F后,出现两种情况,一个柯西序列,一个空序列,也就是序列xn)n ∈ N such that |xn,当n趋于无穷,可以证明这又是一个域,在给定素点的F的完备域。
例如F= 有理数域Q时,会发生以下的非平凡赋值(奥斯特洛夫斯基定理):域Q的绝对赋值为通常绝对值,这产生了完备的实数R拓扑域。另一方面,对于任何素数p, 如下定义产生p进数域:
- |q|p = p−n, q = pn a/b ,q 和 a 和 b都不整除p.
R通常的绝对值和p进数域Qp的范数不同,当q 乘以p的幂升高逐渐变小,完全相反R通常的绝对值。
参考文献
- Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1997, ISBN 978-0-8218-0429-2
- Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
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- Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196
- Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995