测度空间

测度空间是测度论的基本概念，可以看做是面積概念的推廣，由一个基本的集合 $X$ 以及基于这集合的某些子集合所构成的一個新的集合 ${\mathcal {A}}$ ，這新集合會滿足 σ-代数的性質，直覺的講，對 ${\mathcal {A}}$ 中的元素我們都可以用某種方法去「測量」其大小、面積或機率等，其真正意義要看所在空間 $X$ 來決定。和一個定義在 ${\mathcal {A}}$ 上滿足某些特別性質的(非負)函數 $\mu$ ，也就是测度，測度空間就由這三部分， $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ，所構成。测度空间的一个实例是概率空間。

可測度空間(measurable space)包含前兩部分但不含測度。

定义

一个测度空间包含三部分資訊 $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ，且滿足下列條件：^[1]^[2]

$X$ 为非空集合
${\mathcal {A}}$ 为 $X$ 上的一个 σ-代数，也就是满足某些条件的 $X$ 中的一些子集构成的集合。
$\mu$ 为 $(X,{\mathcal {A}})$ 上的测度，換句話講，是一个定義在 ${\mathcal {A}}$ 上的有特別性質的(非負)函数。

例子

对集合

X=\{0,1\},

取

{\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.

定义

\mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},

则根据测度的可数可加性， ${\textstyle \mu (\{0,1\})=1.}$ 另根据测度的定义， ${\textstyle \mu (\emptyset )=0.}$ 则 $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ 为一个测度空间。

本例中的测度对应于 ${\textstyle p={\frac {1}{2}}}$ 的伯努利分布。

参见

参考文献

^ Kosorok, Michael R. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer. 2008: 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
^ Klenke, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer. 2008: 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.

[Kosorok83-1] Kosorok, Michael R. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer. 2008: 83. ISBN 978-0-387-74977-8.

[Klenke18-2] Klenke, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer. 2008: 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.

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