測度空間是測度論的基本概念,可以看做是面積概念的推廣,由一個基本的集合 以及基於這集合的某些子集合所構成的一個新的集合 ,這新集合會滿足 σ-代數的性質,直覺的講,對 中的元素我們都可以用某種方法去「測量」其大小、面積或概率等,其真正意義要看所在空間 來決定。和一個定義在 上滿足某些特別性質的(非負)函數 ,也就是測度,測度空間就由這三部分,,所構成。測度空間的一個實例是概率空間。
可測度空間(measurable space)包含前兩部分但不含測度。
定義
一個測度空間包含三部分資訊 ,且滿足下列條件:[1][2]
- 為非空集合
- 為 上的一個 σ-代數,也就是滿足某些條件的 中的一些子集構成的集合。
- 為 上的測度,換句話講,是一個定義在 上的有特別性質的(非負)函數。
例子
對集合
取
定義
則根據測度的可數可加性, 另根據測度的定義,
則為一個測度空間。
本例中的測度對應於的伯努利分佈。
參見
參考文獻