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測度空間

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測度空間測度論的基本概念,可以看做是面積概念的推廣,由一個基本的集合 以及基於這集合的某些子集合所構成的一個新的集合 ,這新集合會滿足 σ-代數的性質,直覺的講,對 中的元素我們都可以用某種方法去「測量」其大小、面積或概率等,其真正意義要看所在空間 來決定。和一個定義在 上滿足某些特別性質的(非負)函數 ,也就是測度,測度空間就由這三部分,,所構成。測度空間的一個實例是概率空間

可測度空間(measurable space)包含前兩部分但不含測度。

定義

一個測度空間包含三部分資訊 ,且滿足下列條件:[1][2]

  • 非空集合
  • 上的一個 σ-代數,也就是滿足某些條件的 中的一些子集構成的集合。
  • 上的測度,換句話講,是一個定義在 上的有特別性質的(非負)函數。

例子

對集合

定義

則根據測度的可數可加性, 另根據測度的定義,為一個測度空間。

本例中的測度對應於伯努利分佈

參見

參考文獻

  1. ^ Kosorok, Michael R. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer. 2008: 83. ISBN 978-0-387-74977-8. 
  2. ^ Klenke, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer. 2008: 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.