波斯尼科夫塔

在代数拓扑和同伦论中，波斯尼科夫塔（Postnikov Tower或称：波斯尼科夫系统）是关于CW复形在同伦意义下进行分解的一种方法。形象地说，给定一个连通的CW复形 $\;X\;$ ， $\;X\;$ 可以分解成一系列CW复形的逼近，使得每一个复形都是它前面一个复形和一个Eilenberg-McLane空间(Eilenberg-McLance space)的纤维丛乘积。

具体地说，我们有如下定理：

定理: 任给一个连通的CW复形 $\;X\;$ ，记其 $\;q\;$ 阶同伦群为 $\;\pi _{q}\;$ 。对于每一个自然数 $\;n\;$ ，存在一组的纤维丛 $\;Y_{q}\to Y_{q-1},1<q\leq n\;$ ，其纤维(fiber)为 $\;K(\pi _{q},q)\;$ ，和CW映射 $\;X\to Y_{q}\;$ ，使得

如下图表可交换：
$\;X\to Y_{q}\;$ 诱导了阶数小于等于 $\;q\;$ 的同伦群的同构。

在上面的定理中， $\;K(\pi _{q},q)\;$ 为Eilenber-McLance空间，即 $\;q\;$ 同伦群为 $\;\pi _{q}\;$ ，其余为0的CW复形。我们称上面的纤维丛序列为Postnikov塔，并且有

\;X\simeq \lim _{\longleftarrow }Y_{n}.\;

构造

上述定理的证明过程实际上就是波斯尼科夫塔的构造过程。我们从构造 $\;Y_{n}\;$ 开始：实际上，对于 $\;X\;$ ，我们不停地往其上贴维数大于 $\;n\;$ 的胞腔使得 $\;X\;$ 的大于 $\;n\;$ 阶的同伦群都变得平凡，记之为 $\;Y_{n}\;$ ，则我们有

\;\pi _{q}(X)\cong \pi _{q}(Y_{n}),\quad q\leq n.\;

按照同样的方法，我们可以构造 $\;Y_{n-1},\cdots ,Y_{1}\;$ ，并且有

\;X\subset Y_{n}\subset Y_{n-1}\subset \cdots \subset Y_{2}\subset Y_{1},\;

代数拓扑里面的一个定理说，每一个包含映射实际上都可以看成一个纤维丛，那么把上面这一串包含映射转换成纤维丛的语言，就得到Postnikov塔，并且可以证明每个纤维都是一个Eilenberg-McLane空间 $\;K(\pi _{q},q)\;$ 。

应用

如前所述，波斯尼科夫塔给出了CW复形的一种同伦意义下的分解。原则上，根据同伦正合列(homotopy exact sequence)或者塞尔谱序列我们可以根据一个CW复形的波斯尼科夫塔计算出该复形的同伦群和同调群。

虽然如此，波斯尼科夫塔的应用要等到 D. Quillen，陈国才(K.-T. Chen)特别是 D. Sullivan的有理同伦论发展以后才能够得到更加精妙的应用。

自1980年代以来，物理特别是量子场论的思想非常深刻地影响了数学的发展。物理学家所用的一些工具，以及思考问题的方法在同伦论中也有所反映。波斯尼科夫塔，有理同伦论，还有前后出现的Stasheff的同伦结合性(homotopy associativity)以及J. P. May等人提出的Operad（英语：Operad）概念，等等，经过量子场论的重新考察，已经非常紧密地联系起来，成为代数拓扑里面一个非常活跃的研究领域。

资料

关于一般的代数拓扑的书，可以参考

R. Bott and L. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. 此书在中国大陆有影印本，由世界图书出版公司发行。

关于有理同伦论，特别是Sullivan的思想以及跟Postnikov塔的关系，可以参考

P. Griffiths and J. Morgan, Rational homotopy theory and differential forms. Progress in Mathematics, 16. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981.

关于代数拓扑跟量子场论的密切关系，可以参考M. Atiyah, G. Segal以及Kontsevich等人的论文。