同倫

同伦（英語：Homotopic^{[註 1]}）在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同倫群和上同伦群（英语：Cohomotopy group）的定义，它们是代数拓扑中重要的不变量（英语：Invariant (mathematics)）。

事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱（英语：Spectrum_(topology)）。

定义

两个将环面映射到R³的嵌入之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。

給定兩個拓撲空間 $X\,\!$ 和 $Y\,\!$ 。考慮兩個連續函數 $f,\,g\,:\,X\rightarrow Y\,\!$ ，若存在一個定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的連續映射 $H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!$ 使得：

$\forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!$
$\forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!$

則稱 $H$ 是 $f,\,g$ 之间的一个同倫^[1]^:183。

如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。

另一種觀點是：對每個 $x\in X\,\!$ ，函數 $H\,\!$ 定義一條連接 $f(x)\,\!$ 與 $g(x)\,\!$ 的路徑：

\gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!

右侧的循环动画展示了两个嵌入R³中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 R³。f，g 是从环面到 R³的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了h_t(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。

性质

当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系^[1]^:184。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：

如果 f₁, g₁ : X → Y 是同伦的，并且 f₂, g₂ : Y → Z 是同伦的，则他们的复合 f₂ ∘ f₁ 与 g₂ ∘ g₁ : X → Z 也是同伦的。

例子

例一：取 $X=\mathbb {R} \,\!$ , $Y=\mathbb {R} \,\!$ , $f(x)=1\,\!$ 及 $g(x)=-1\,\!$ 。則 $f\,\!$ 與 $g\,\!$ 透過下述函數在 $Y\,\!$ 中同倫。

H(x,t)=1-2t\,\!

（注意到此例子不依賴於變數

x

，通常並非如此。）

註：「在

Y

中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將

Y=\mathbb {R} \,\!

代為子空間

Y'=\mathbb {R} ^{*}\,\!

，則雖然

f\,\!

與

g\,\!

仍取值在

Y'\,\!

，但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。

例二：取 $X=[0,1]\,\!$ , $Y=\mathbb {C} \,\!$ , $f(x)=e^{2i\pi x}\,\!$ 及 $g(x)=0\,\!$ 。则 $f\,\!$ 描繪一個以原點為圓心的單位圓； $g\,\!$ 停在原點。 $f\,\!$ 與 $g\,\!$ 透過下述連續函數同倫：

H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!

幾何上來看，對每個值

t\,\!

，函數

h_{t}(x)=H(x,t)\,\!

描繪一個以原點為圓心，半徑

1-t

的圓。

相對同倫

為定義高階基本群，必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設 $f,g:X\rightarrow Y$ 是連續函數，固定子空間 $K\subset X$ ；若存在前述同倫映射 $H:X\times [0,1]\rightarrow Y$ ，滿足：