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核密度估计 (英語:Kernel density estimation ,縮寫 :KDE )是在概率论 中用来估计未知的密度函数 ,属於非参数检验方法 之一,由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen (1962)提出,又名Parzen窗 (Parzen window)。Ruppert和Cline基于数据集密度函数聚类算法提出修订的核密度估计方法。
100個常態分佈 的亂數 的核密度估计
核密度估计在估计边界区域的时候会出现边界效应 。
在单变量核密度估计的基础上,可以建立风险价值 的预测模型。通过对核密度估计变异系数的加权处理,可以建立不同的风险价值的预测模型。
一些比较常用的核函数是:
均匀核函数
k
(
x
)
=
1
2
,
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle k(x)={\frac {1}{2}},\;-1\leq x\leq 1}
,
加入带宽
h
{\displaystyle h}
后:
k
h
(
x
)
=
1
2
h
,
−
h
≤
x
≤
h
{\displaystyle k_{h}(x)={\frac {1}{2h}},\;-h\leq x\leq h}
。
三角核函数
k
(
x
)
=
1
−
|
x
|
,
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle k(x)=1-|x|,\;-1\leq x\leq 1}
,
加入带宽
h
{\displaystyle h}
后:
k
h
(
x
)
=
(
h
−
|
x
|
)
h
2
,
−
h
≤
x
≤
h
{\displaystyle k_{h}(x)={\frac {(h-|x|)}{h^{2}}},\;-h\leq x\leq h}
。
伽马核函数
k
x
i
(
x
)
=
x
(
α
−
1
)
exp
(
−
x
α
/
x
i
)
(
x
i
/
α
)
α
Γ
(
α
)
{\displaystyle k_{x_{i}}(x)={\frac {x^{(\alpha -1)}\exp {(-x\alpha /x_{i})}}{(x_{i}/\alpha )^{\alpha }\Gamma (\alpha )}}}
。
定义
设
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
{\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)}
为从单变量分布中抽取的独立同分布 样本,给定点
x
{\displaystyle x}
有未知的概率密度
f
{\displaystyle f}
,我们对估计函数
f
{\displaystyle f}
的形状感兴趣,其核密度估计器是
f
^
h
(
x
)
=
1
n
∑
i
=
1
n
K
h
(
x
−
x
i
)
=
1
n
h
∑
i
=
1
n
K
(
x
−
x
i
h
)
,
{\displaystyle {\widehat {f}}_{h}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})={\frac {1}{nh}}\sum _{i=1}^{n}K{\Big (}{\frac {x-x_{i}}{h}}{\Big )},}
其中
K
{\displaystyle K}
是非负的核函数,带宽
h
>
0
{\displaystyle h>0}
为平滑参数。带下标h的核被称为缩放核,定义为
K
h
(
x
)
=
1
/
h
⋅
K
(
x
/
h
)
{\displaystyle K_{h}(x)=1/h\cdot K(x/h)}
。直觉上讲,在数据允许的范围内应当选择尽可能小的带宽;然而,偏差 和方差之间总有所权衡。
常用的核函数有:均匀核(Uniform)、三角核(Triangular)、双权核(Biweight)、三权核(Triweight)、Epanechnikov核、正态核(Normal)等。从均方误差的角度来看,Epanechnikov核是最佳的[ 1] ,尽管对于前面列出的核来说,效率的损失很小[ 2] 。由于其数学特性良好,正态核经常被使用,即
K
(
x
)
=
ϕ
(
x
)
{\displaystyle K(x)=\phi (x)}
,其中
ϕ
{\displaystyle \phi }
是标准正态密度函数。
参考文献
唐林俊、杨虎、张洪阳:核密度估计在预测风险价值中的应用 The Application of The Kernel Density Estimates in Predicting VaR,《数学的实践与认识》2005年10期
^ Epanechnikov, V.A. Non-parametric estimation of a multivariate probability density. Theory of Probability and Its Applications. 1969, 14 : 153–158. doi:10.1137/1114019 .
^ Wand, M.P; Jones, M.C. Kernel Smoothing. London: Chapman & Hall/CRC. 1995. ISBN 978-0-412-55270-0 .