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核密度估计 （英语：Kernel density estimation ，缩写 ：KDE ）是在概率论 中用来估计未知的密度函数 ，属于非参数检验方法 之一，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen (1962)提出，又名Parzen窗 （Parzen window）。Ruppert和Cline基于数据集密度函数聚类算法提出修订的核密度估计方法。
100个常态分布 的乱数 的核密度估计 核密度估计在估计边界区域的时候会出现边界效应 。
在单变量核密度估计的基础上，可以建立风险价值 的预测模型。通过对核密度估计变异系数的加权处理，可以建立不同的风险价值的预测模型。
一些比较常用的核函数是：
均匀核函数
k
(
x
)
=
1
2
,
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle k(x)={\frac {1}{2}},\;-1\leq x\leq 1}
h
{\displaystyle h}
k
h
(
x
)
=
1
2
h
,
−
h
≤
x
≤
h
{\displaystyle k_{h}(x)={\frac {1}{2h}},\;-h\leq x\leq h}
三角核函数
k
(
x
)
=
1
−
|
x
|
,
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle k(x)=1-|x|,\;-1\leq x\leq 1}
h
{\displaystyle h}
k
h
(
x
)
=
(
h
−
|
x
|
)
h
2
,
−
h
≤
x
≤
h
{\displaystyle k_{h}(x)={\frac {(h-|x|)}{h^{2}}},\;-h\leq x\leq h}
伽马核函数
k
x
i
(
x
)
=
x
(
α
−
1
)
exp
(
−
x
α
/
x
i
)
(
x
i
/
α
)
α
Γ
(
α
)
{\displaystyle k_{x_{i}}(x)={\frac {x^{(\alpha -1)}\exp {(-x\alpha /x_{i})}}{(x_{i}/\alpha )^{\alpha }\Gamma (\alpha )}}}
设
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
{\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)}
独立同分布 样本，给定点
x
{\displaystyle x}
概率密度
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
^
h
(
x
)
=
1
n
∑
i
=
1
n
K
h
(
x
−
x
i
)
=
1
n
h
∑
i
=
1
n
K
(
x
−
x
i
h
)
,
{\displaystyle {\widehat {f}}_{h}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})={\frac {1}{nh}}\sum _{i=1}^{n}K{\Big (}{\frac {x-x_{i}}{h}}{\Big )},}
其中
K
{\displaystyle K}
h
>
0
{\displaystyle h>0}
K
h
(
x
)
=
1
/
h
⋅
K
(
x
/
h
)
{\displaystyle K_{h}(x)=1/h\cdot K(x/h)}
偏差 和方差之间总有所权衡。
常用的核函数有：均匀核（Uniform）、三角核（Triangular）、双权核（Biweight）、三权核（Triweight）、Epanechnikov核、正态核（Normal）等。从均方误差的角度来看，Epanechnikov核是最佳的[ 1] [ 2]
K
(
x
)
=
ϕ
(
x
)
{\displaystyle K(x)=\phi (x)}
ϕ
{\displaystyle \phi }
唐林俊、杨虎、张洪阳：核密度估计在预测风险价值中的应用 The Application of The Kernel Density Estimates in Predicting VaR，《数学的实践与认识》2005年10期
^ Epanechnikov, V.A. Non-parametric estimation of a multivariate probability density. Theory of Probability and Its Applications. 1969, 14 : 153–158. doi:10.1137/1114019 ^ Wand, M.P; Jones, M.C. Kernel Smoothing. London: Chapman & Hall/CRC. 1995. ISBN 978-0-412-55270-0
