擴展實數線又稱廣義實數(英語:extended real number),由實數線
加上
和
得到(注意
和
并不是实数),写作
、[−∞, +∞]或ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不會混淆時,符號 +∞常簡寫成∞。扩展的實數線在研究数学分析,特别是积分时非常有用。
扩展
对任意实数
,定义
,扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质,就是其所有子集都有上确界和下确界:这是一个完备格。全序关系在
上引入了拓扑。在这个拓扑中,集合
是
的邻域,当且仅当它包含集合
,这里
是某个实数。
的邻域类似。
是个紧致的豪斯多夫空间,与单位区间
同胚。
上的算术运算可以部分地扩展到
,如下:
![{\displaystyle {\begin{array}{l}a+\infty =+\infty +a=+\infty &a\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a=-\infty &a\neq +\infty \\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right]\\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\mp \infty &a\in \left[-\infty ,0\right)\\{\dfrac {a}{\pm \infty }}=0&a\in \mathbb {R} \\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right)\\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\mp \infty &a\in \left(-\infty ,0\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0989b6e10d56a6a8c5b3d797ff0ba19e9bf06b3)
通常不定义
,
。同时
也不定义为
(因為這樣忽視了
),这些规则是根据无穷极限的性质确定的。
注意在这些定义下,
不是域,也不是环。
性质
经过上述定义,扩展的实数轴仍有很多实数的性质:
和
相等或同时没有定义。
和
相等或同时没有定义。
和
相等或同时没有定义。
和
相等或同时没有定义。
和
若都有定义则相等。
- 若
且
和
都有定义,则
。
- 若
且
且
和
都有定义,则
。
通常只要表达式都有定义,所有算术性质在
上都成立。
使用极限,一些函数可以自然地扩展到
。例如可以定义
等。
参见