擴展實數線

擴展實數線又稱廣義實數（英語：extended real number），由實數線$\mathbb {R}$加上$+\infty$和$-\infty$得到（注意$+\infty$和$-\infty$並不是實數），寫作${\overline {\mathbb {R} }}$、[−∞, +∞]或ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不會混淆時，符號 +∞常簡寫成∞。擴展的實數線在研究數學分析，特別是積分時非常有用。

擴展

對任意實數$a$，定義$-\infty <a<+\infty$，擴展的實數軸就成了一個全序集。這種集合有種非常好的性質，就是其所有子集都有上確界和下確界：這是一個完備格。全序關係在${\overline {\mathbb {R} }}$上引入了拓撲。在這個拓撲中，集合$U$是$+\infty$的鄰域，當且僅當它包含集合$\left\{x:x>a\right\}$，這裡$a$是某個實數。$-\infty$的鄰域類似。${\overline {\mathbb {R} }}$是個緊緻的豪斯多夫空間，與單位區間$\left[0,1\right]$同胚。

$\mathbb {R}$上的算術運算可以部分地擴展到${\overline {\mathbb {R} }}$，如下：

${\begin{array}{l}a+\infty =+\infty +a=+\infty &a\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a=-\infty &a\neq +\infty \\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right]\\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\mp \infty &a\in \left[-\infty ,0\right)\\{\dfrac {a}{\pm \infty }}=0&a\in \mathbb {R} \\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right)\\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\mp \infty &a\in \left(-\infty ,0\right)\end{array}}$

通常不定義$\infty -\infty ,0\cdot \left(\pm \infty \right),{\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}$,${\frac {a}{0}}$。同時${\frac {1}{0}}$也不定義為$+\infty$（因為這樣忽視了$-\infty$），這些規則是根據無窮極限的性質確定的。

注意在這些定義下，${\overline {\mathbb {R} }}$不是域，也不是環。

性質

經過上述定義，擴展的實數軸仍有很多實數的性質：

• $a+\left(b+c\right)$和$\left(a+b\right)+c$相等或同時沒有定義。
• $a+b$和$b+a$相等或同時沒有定義。
• $a\cdot \left(b\cdot c\right)$和$\left(a\cdot b\right)\cdot c$相等或同時沒有定義。
• $a\cdot b$和$b\cdot a$相等或同時沒有定義。
• $a\cdot \left(b+c\right)$和$\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)$若都有定義則相等。
• 若$a\leq b$且$a+c$和$b+c$都有定義，則$a+c\leq b+c$。
• 若$a\leq b$且$c>0$且$a\cdot c$和$b\cdot c$都有定義，則$a\cdot c\leq b\cdot c$。

通常只要表達式都有定義，所有算術性質在${\overline {\mathbb {R} }}$上都成立。

使用極限，一些函數可以自然地擴展到${\overline {\mathbb {R} }}$。例如可以定義${\rm {{e}^{-\infty }=0,{\rm {{e}^{+\infty }=+\infty ,\ln {0}=-\infty ,\ln {\left(+\infty \right)}=+\infty }}}}$等。

參見

• 擴展的複平面