德林費爾德模

在數學領域，德林費爾德模或橢圓模是一種特別的模，佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說，德林費爾德模是複橢圓曲線的複乘法理論之函數域版本。

俄文單詞 штука（英語拼音：shtuka 或 chtouca，源於德文的 Stück，意指物件或東西），又稱F-層，是德林費爾德模的一種延伸，由曲線上的向量叢和其它關乎弗羅貝尼烏斯映射的資料組成。

弗拉基米爾·德林費爾德在1973年發明了德林費爾德模，隨後推廣到 штука，以證明函數域上的 $\mathrm {GL} (2)$ 郎蘭茲猜想。洛朗·拉福格藉由研究 n秩 штука的模疊與跡公式，在2002年證出 $\mathrm {GL} (n)$ 的情形。

德林費爾德模

加性多項式環

設 $L$ 為特徵 $p>0$ 的域。定義其上的非交換多項式環 $L\{\tau \}$

a₀ + a₁τ + a₂τ² + ...

乘法由下述條件確定

\tau a=a^{p}\tau

元素 $\tau$ 可設想為弗羅貝尼烏斯映射。事實上， $L$ 是左 $L\{\tau \}$ -模，其中 $L$ 以乘法作用而 $\tau$ 以 $a\mapsto a^{p}$ 映射。環 $L\{\tau \}$ 也可以看作是如下多項式的集合

a_{0}X^{1}+a_{1}X^{p}+a_{2}X^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \in L[X]

這類多項式滿足 $f(X+Y)=f(X)+f(Y)\in L[X,Y]$ ，故稱加性多項式；此環的乘法由多項式的合成給出，而非乘法，故非交換。

形式定義

今設 $A$ 為交換環，L 上的 德林費爾德 A-模定義為環同態 $\psi :A\to L\{\tau \}$ ，使得 $\psi (A)$ 不包含於 $L$ ；此條件意在排除一些平凡例子。環 $A$ 通常取作某條有限域上的仿射曲線的坐標環。

$L\{\tau \}$ 可視為加法群 $(L,+)$ 的自同態，而德林費爾德 A-模可視為 $A$ 在 $(L,+)$ 上的作用。

例子

置 $A:=\mathbb {F} _{p}[T]$ ，對應到虧格為一的仿射代數曲線。德林費爾德模 $\psi :A\to L\{\tau \}$ 僅依賴於像 $\psi (T)\in L\{\tau \}\setminus L$ 。此時德林費爾德模可等同於 $L\{\tau \}\setminus L$ 。對於虧格更高的曲線，德林費爾德模會更複雜。
承上，Carlitz 模是由 $\psi (T)=T+\tau$ ， $L$ 為含 $\mathbb {F} _{p}$ 的完備代數封閉域給出的德林費爾德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展開研究，詳見Goss 的著作第三章（页面存档备份，存于互联网档案馆）。

штука

設 $X$ 是有限域 $\mathbb {F} _{p}$ 上的代數曲線。對概形或疊 $U$ ，其上的秩 r （右）штука 由下列資料定義：

$U\times X$ 上的秩 r 局部自由層 $E,E'$ 及單射

E\rightarrow E'\leftarrow (\mathrm {Fr} ^{*}\times 1)^{*}E

其餘核的支撐集包括於某態射 $U\to X$ 的圖（稱為該 штука 的零點與極點，記為 $0$ 與 $\infty$ ），且在支撐集上是秩 $1$ 局部自由層。在此 $\mathrm {Fr}$ 表 $U$ 上的弗羅貝尼烏斯態射。

左 штука 的定義類似，但態射的方向反轉；若極點與零點集互斥，則實際上無分左右。

粗略而言，考慮不同的 $U$ ，可得代數疊 $\mathrm {Sht} ^{r}$ 及 $\mathrm {Sht} ^{r}\times X$ 上的「萬有 штука」，並有相對維度 $2$ 的平滑態射 $(\infty ,0):\mathrm {Sht} ^{r}\to X\times X$ 。注意到當 $r>1$ 時，疊 $\mathrm {Sht} ^{r}$ 並非有限型的。

德林費爾德模可在某種意義下視作特別的 штука（自定義觀之，這絕非明顯），詳見 Drinfel'd, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

應用

簡言之，函數域上的郎蘭茲猜想是關於 $\mathrm {GL} (n)$ 的尖點自守表示及某個伽羅瓦群的表示之間的對應。德林費爾德利用 штука 證明 $n=2$ 的情形。此猜想的難處在於構造滿足特定性質的伽羅瓦表示，德林費爾德的高處在於從某個秩 $2$ штука 的模空間的 $\ell$ -進上同調入手，找出相應的伽羅瓦表示。

德林費爾德認為此法可延伸至 $n\geq 2$ 的情形。拉福格最後克服了其中的大量技術困難，完成證明。

文獻

德林費爾德模

V. Drinfel'd, Elliptic modules (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561-592.
D. Goss, Basic structures of function field arithmetic, ISBN 3-540-63541-6
Drinfel'd module （页面存档备份，存于互联网档案馆） in the Springer encyclopaedia of mathematics
G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II, Cambridge university press 1996

штука

Drinfel'd, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821
Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
D. Goss, What is a shtuka? （页面存档备份，存于互联网档案馆） Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

拉福格在郎蘭茲猜想方面的工作

Lafforgue, L. Chtoucas de Drinfeld et applications. （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 563--570
Lafforgue, Laurent Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands. (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
Gérard Laumon, The work of Laurent Lafforgue Archive.is的存檔，存档日期2012-12-05 Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97
G. Laumon La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue) (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873