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德林费尔德模

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数学领域,德林费尔德模椭圆模是一种特别的,布于有限域上的代数曲线的坐标环上。粗略地说,德林费尔德模是复椭圆曲线复乘法理论之函数域版本。

俄文单词 штука(英语拼音:shtukachtouca,源于德文Stück,意指物件或东西),又称F-层,是德林费尔德模的一种延伸,由曲线上的向量丛和其它关乎弗罗贝尼乌斯映射的资料组成。

弗拉基米尔·德林费尔德在1973年发明了德林费尔德模,随后推广到 штука,以证明函数域上的 郎兰兹猜想洛朗·拉福格借由研究 n秩 штука的模叠迹公式,在2002年证出 的情形。

德林费尔德模

加性多项式环

为特征 的域。定义其上的非交换多项式环

a0 + a1τ + a2τ2 + ...

乘法由下述条件确定

元素 可设想为弗罗贝尼乌斯映射。事实上, 是左 -模,其中 以乘法作用而 映射。环 也可以看作是如下多项式的集合

这类多项式满足 ,故称加性多项式;此环的乘法由多项式的合成给出,而非乘法,故非交换。

形式定义

今设 为交换环,L 上的 德林费尔德 A-模定义为环同态 ,使得 不包含于 ;此条件意在排除一些平凡例子。环 通常取作某条有限域上的仿射曲线的坐标环。

可视为加法群 的自同态,而德林费尔德 A-模可视为 上的作用。

例子

  • ,对应到亏格为一的仿射代数曲线。德林费尔德模 仅依赖于像 。此时德林费尔德模可等同于 。对于亏格更高的曲线,德林费尔德模会更复杂。
  • 承上,Carlitz 模是由 为含 的完备代数封闭域给出的德林费尔德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展开研究,详见Goss 的著作第三章页面存档备份,存于互联网档案馆) 。

штука

是有限域 上的代数曲线。对概形或叠 ,其上的秩 r (右)штука 由下列资料定义:

  • 上的秩 r 局部自由 及单射

其余核的支撑集包括于某态射 的图(称为该 штука 的零点与极点,记为 ),且在支撑集上是秩 局部自由层。在此 上的弗罗贝尼乌斯态射。

左 штука 的定义类似,但态射的方向反转;若极点与零点集互斥,则实际上无分左右。

粗略而言,考虑不同的 ,可得代数叠 上的“万有 штука”,并有相对维度 $2$ 的平滑态射 。注意到当 时,叠 并非有限型的。

德林费尔德模可在某种意义下视作特别的 штука(自定义观之,这绝非明显),详见 Drinfel'd, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

应用

简言之,函数域上的郎兰兹猜想是关于 的尖点自守表示及某个伽罗瓦群的表示之间的对应。德林费尔德利用 штука 证明的情形。此猜想的难处在于构造满足特定性质的伽罗瓦表示,德林费尔德的高处在于从某个秩 штука 的模空间-进上同调入手,找出相应的伽罗瓦表示。

德林费尔德认为此法可延伸至 的情形。拉福格最后克服了其中的大量技术困难,完成证明。

文献

德林费尔德模

  • V. Drinfel'd, Elliptic modules (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561-592.
  • D. Goss, Basic structures of function field arithmetic, ISBN 3-540-63541-6
  • Drinfel'd module页面存档备份,存于互联网档案馆) in the Springer encyclopaedia of mathematics
  • G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II, Cambridge university press 1996

штука

  • Drinfel'd, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821
  • Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
  • D. Goss, What is a shtuka?页面存档备份,存于互联网档案馆) Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

拉福格在郎兰兹猜想方面的工作