中山引理

在交換代數中，中山引理是相當有用的一個技術工具。

陳述

它的眾多等價陳述之一如下：

引理（中山正）。設$R$為含單位元的交換環，$I$為一理想，$M$為有限生成$R$-模。若$IM=M$，則存在$r\in R$滿足$r\equiv 1{\pmod {I}}$且$rM=0$。

推論

推論一。在上述條件下，若$I$包含於$R$的Jacobson根，則必然有$M=0$。

推論二. 若$N$是$M$的子模，且存在有限生成的$M$的子模$N'$及包含於$R$的Jacobson根的理想$I$，使得$M=N+IN'$，則$M=N$。

文獻

• Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G（1969）. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.
• Matsumura H., Commutative Algebra, 2nd ed. Benjamin/Cummings, 1980.