中山引理

在交换代数中，中山引理是相当有用的一个技术工具。

陈述

它的众多等价陈述之一如下：

引理（中山正）。设$R$为含单位元的交换环，$I$为一理想，$M$为有限生成$R$-模。若$IM=M$，则存在$r\in R$满足$r\equiv 1{\pmod {I}}$且$rM=0$。

推论

推论一。在上述条件下，若$I$包含于$R$的Jacobson根，则必然有$M=0$。

推论二. 若$N$是$M$的子模，且存在有限生成的$M$的子模$N'$及包含于$R$的Jacobson根的理想$I$，使得$M=N+IN'$，则$M=N$。

文献

• Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G（1969）. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.
• Matsumura H., Commutative Algebra, 2nd ed. Benjamin/Cummings, 1980.