Sorgenfrey平面

在拓撲學，Sorgenfrey平面是一個經常引用到的反例^[1]。它是兩條Sorgenfrey線的積（Sorgenfrey線是賦予了下限拓撲的實數線）。Sorgenfrey線和Sorgenfrey平面是以美國數學家 Robert Sorgenfrey命名。

Sorgenfrey平面（現在開始用 $\mathbb {S}$ 表示）的其中一組基是所有「包含左邊、左下頂點、下邊而不包含其他邊、頂點」的長方形。 $\mathbb {S}$ 上的開集則是這種長方形的並集。

$\mathbb {S}$ 能作為很多拓撲學上聽起來很可能正確的陳述的反例子。其一，它是林德勒夫空間的積，但它自己不是林德勒夫空間。其二，反對角線 $\Delta =\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {R} \}$ 是 $\mathbb {S}$ 上的一個不可數離散子集，所以它是不可分的，但 $\mathbb {S}$ 是可分的。這個例子展示了可分空間的閉子集不一定是可分的。其三， $K=\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {Q} \}$ 和 $\Delta \setminus K$ 是閉集，而且可以證明它們不能被鄰域分離，所以 $\mathbb {S}$ 不是正則空間。這展示了正則空間的積不一定是正則的，甚至展示了更強的結果：有限個完美正則空間的積也不一定是正則的。

參考文獻

引用

^ Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur. 84. Sorgenfrey's Half-Open Square Topology. Counterexamples in Topology. New York, NY: Springer New York. 1978: 103. ISBN 9780387903125.

來源

Kelley, John L. General Topology. van Nostrand. 1955. Reprinted as Kelley, John L. General Topology. Springer-Verlag. 1975. ISBN 0-387-90125-6.
Robert Sorgenfrey, "On the topological product of paracompact spaces", Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947) 631–632.

[1] Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur. 84. Sorgenfrey's Half-Open Square Topology. Counterexamples in Topology. New York, NY: Springer New York. 1978: 103. ISBN 9780387903125.

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