Sorgenfrey平面

在拓扑学，Sorgenfrey平面是一个经常引用到的反例^[1]。它是两条Sorgenfrey线的积（Sorgenfrey线是赋予了下限拓扑的实数线）。Sorgenfrey线和Sorgenfrey平面是以美国数学家 Robert Sorgenfrey命名。

Sorgenfrey平面（现在开始用 $\mathbb {S}$ 表示）的其中一组基是所有“包含左边、左下顶点、下边而不包含其他边、顶点”的长方形。 $\mathbb {S}$ 上的开集则是这种长方形的并集。

$\mathbb {S}$ 能作为很多拓扑学上听起来很可能正确的陈述的反例子。其一，它是林德勒夫空间的积，但它自己不是林德勒夫空间。其二，反对角线 $\Delta =\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {R} \}$ 是 $\mathbb {S}$ 上的一个不可数离散子集，所以它是不可分的，但 $\mathbb {S}$ 是可分的。这个例子展示了可分空间的闭子集不一定是可分的。其三， $K=\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {Q} \}$ 和 $\Delta \setminus K$ 是闭集，而且可以证明它们不能被邻域分离，所以 $\mathbb {S}$ 不是正则空间。这展示了正则空间的积不一定是正则的，甚至展示了更强的结果：有限个完美正则空间的积也不一定是正则的。

参考文献

引用

^ Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur. 84. Sorgenfrey's Half-Open Square Topology. Counterexamples in Topology. New York, NY: Springer New York. 1978: 103. ISBN 9780387903125.

来源

Kelley, John L. General Topology. van Nostrand. 1955. Reprinted as Kelley, John L. General Topology. Springer-Verlag. 1975. ISBN 0-387-90125-6.
Robert Sorgenfrey, "On the topological product of paracompact spaces", Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947) 631–632.

[1] Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur. 84. Sorgenfrey's Half-Open Square Topology. Counterexamples in Topology. New York, NY: Springer New York. 1978: 103. ISBN 9780387903125.

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