法拉第圓盤是同極發電機的原型。將銅圓盤旋轉於固定不動的馬蹄形磁鐵，由於勞侖茲力的作用於銅圓盤的電子，會生成動生電動勢。 在電路學 裡，電動勢 （英語：electromotive force ，縮寫為EMF ，或以
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
電能 的特性。這些電路元件稱為「電動勢源」。電化電池 、太陽能電池 、燃料電池 、熱電裝置 、發電機 等等，都是電動勢源。電動勢源所供應的能量每單位電荷是其電動勢[ 1]
Q
{\displaystyle Q\,}
W
{\displaystyle W\,}
E
=
W
Q
{\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {W}{Q}}}
[ 2] 電位差 。
在電磁學 裡，電動勢又分為兩種：感應電動勢 （induced EMF）與動生電動勢 （motional EMF）。根據法拉第感應定律 ，處於含時磁場的閉電路，由於磁場隨著時間而改變，會有感生電動勢出現於閉電路。感生電動勢等於電場沿著閉電路的路徑積分。處於閉電路的帶電粒子會感受到電場，因而產生電流。
移動於磁場的細直導線，其內部會出現動生電動勢。處於這導線的電荷，根據勞侖茲力定律 ，會感受到勞侖茲力 ，從而造成正負電荷分離至直棍的兩端。這動作會形成一個電場與伴隨的電場力，抗拒勞侖茲力，直到兩種作用力達成平衡。
格奧爾格·歐姆 （1789年—1854年）從1825年到1826年之間，格奧爾格·歐姆 做了很多有關於電路 的實驗。1827年，在他發表的書《直流電路的數學研究》（Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet 歐姆定律 」。歐姆注意到電路所需要的電源是由電池供給的，電池與電路內的各種物理現象應該有密切關係。他推論電池具有某種「驅動力」，能夠驅使電流流動於電路。他將幾個伏打電池 串聯在一起，發覺電流與伏打電池的數量成正比。因此，他提出驅動力與電流成正比。這驅動力就是現在的電動勢，在一個簡單的電阻電路裡，電動勢等於電流 乘以電阻 。
後來，於1831年，麥可·法拉第 做了一系列有關電磁感應的實驗，從這些實驗，他發現以下幾點：
當改變載流導線的電流時，附近的閉電路 會被感應出電流。
當移動磁鐵 時，附近的閉電路會被感應出電流。
當移動閉電路於載流導線或磁鐵附近時，這閉電路會被感應出電流。 於1832年，法拉第又發現，產生於不同導線的感應電流與導線的電導率 成正比。由於電導率與電阻成反比，這顯示出感應作用涉及了電動勢，感應電流是由電動勢驅使導線的電荷移動而形成的；而且，不論導線是開電路，或是閉電路，都會感應出電動勢[ 3]
當處於平衡狀態時，在一個呈開電路狀態的電動勢源元件（例如電池 ）內部，電動勢促使正電荷和負電荷被分離至元件兩端。電荷分離形成的保守性 靜電場
E
c
s
{\displaystyle \mathbf {E} _{cs}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
c
s
{\displaystyle \mathbf {E} _{cs}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
E
c
s
{\displaystyle \mathbf {E} _{cs}}
[ 4]
E
=
−
∫
a
b
E
c
s
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-\int _{a}^{b}\mathbf {E} _{cs}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
其中，
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
從電動勢源，這正電荷會感受到的電場
E
e
m
f
{\displaystyle \mathbf {E} _{emf}}
E
=
∫
a
b
E
e
m
f
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{a}^{b}\mathbf {E} _{emf}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
（1） 對於閉迴路案例，假設閉迴路
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
=
−
∫
S
∂
B
∂
t
⋅
d
a
=
−
d
ϕ
B
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-\int _{\mathbb {S} }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-{\frac {\mathrm {d} \phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
其中，
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
d
a
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }
ϕ
B
{\displaystyle \phi _{B}}
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
磁通量 。
電場沿著閉迴路的環流量 不會等於零，而會等於感生電動勢[ 5]
E
=
∮
C
E
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
其中，
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
c
s
{\displaystyle \mathbf {E} _{cs}}
E
n
c
s
{\displaystyle \mathbf {E} _{ncs}}
對於這案例，靜電場並不是總電場的維一的貢獻者。靜電場部分是保守的。靜電場部分沿著閉迴路的電場 環流量 等於零，只有非保守性電場
E
n
c
s
{\displaystyle \mathbf {E} _{ncs}}
E
=
∮
C
E
n
c
s
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} _{ncs}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
這定義可以延伸至任意電動勢源和移動的閉迴路
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
[ 6] 動生電動勢
∮
C
v
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
E
=
∮
C
E
e
m
f
⋅
d
ℓ
=
∮
C
(
E
n
c
s
+
v
×
B
)
⋅
d
ℓ
+
1
q
∮
C
f
c
⋅
d
ℓ
+
1
q
∮
C
f
t
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} _{emf}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\oint _{\mathbb {C} }\left(\mathbf {E} _{ncs}+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}+{\frac {1}{q}}\oint _{\mathbb {C} }\ \mathbf {f} _{c}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}+{\frac {1}{q}}\oint _{\mathbb {C} }\ \mathbf {f} _{t}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
其中，
f
c
{\displaystyle \mathbf {f} _{c}}
f
t
{\displaystyle \mathbf {f} _{t}}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
將勞侖茲力方程式 代入，
E
=
1
q
∮
C
f
l
o
r
e
n
t
z
⋅
d
ℓ
+
1
q
∮
C
f
c
⋅
d
ℓ
+
1
q
∮
C
f
t
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {1}{q}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {f} _{lorentz}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}+{\frac {1}{q}}\oint _{\mathbb {C} }\ \mathbf {f} _{c}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}+{\frac {1}{q}}\oint _{\mathbb {C} }\ \mathbf {f} _{t}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
其中，
f
l
o
r
e
n
t
z
=
q
(
E
n
c
s
+
v
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {f} _{lorentz}=q(\mathbf {E} _{ncs}+\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
勞侖茲力 。
由於很難準確的計算出有效化學作用力和有效熱作用力，這方程式只是一個概念方程式。
電動勢通常會以希臘字母
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
給予一個內部電阻 為零的元件，假設電荷
Q
{\displaystyle Q}
W
{\displaystyle W}
W
/
Q
{\displaystyle W/Q}
國際單位制 ，就像其它能量每單位電荷的度量，電動勢的單位是伏特 （volt ），等價於焦耳 ／庫侖 （joules per coulomb ）。
採用厘米-克-秒制 ，電動勢的單位是靜伏特 （statvolt ），等價於爾格 ／靜庫侖 （erg per statcoulomb ）[ 7]
理想電動勢源不具有任何內阻 ，放電與充電不會浪費任何電能。理想電動勢源給出的電動勢與其路端電壓相等。
在實際應用中，電動勢源不可避免地有一定的內阻 。實際電動勢源的電阻可以視為一個理想電動勢源串聯一個電阻為內阻的電阻器。內阻的大小取決於電動勢源的大小、化學性質、使用時間、溫度和負載電流。
在通電的閉電路中，內阻相當於一個負載 ，並且消耗電能。
放電電路：在放電電路中，二者關係為
E
=
V
+
I
r
{\displaystyle {\mathcal {E}}=V+Ir}
V
{\displaystyle V}
I
{\displaystyle I}
r
{\displaystyle r}
充電電路：在充電電路中，二者關係為
E
=
V
−
I
r
{\displaystyle {\mathcal {E}}=V-Ir}
V
{\displaystyle V}
在一個呈開電路狀態的電動勢源內部，由於電流為零，電動勢與路端電壓相等。
能夠供應電動勢的元件有很多種，例如，電化電池 、太陽能電池 、燃料電池 、熱電裝置 、發電機 等等[ 8]
電池靠著位於電極 的化學反應來產生電動勢。這些化學反應分離正負電荷至電池的兩端點，從而造成電位差。伏打電池 是大多數電池的原型。伏打電池可以試想為，在每一個電極，都裝有一個原子 尺寸的電荷泵 ；也就是說[ 9]
試想電動勢源為一種電荷泵；它能將正電荷，從低電位端，經過其本身，移動到高電位端.....使用化學，機械或其它機制，電動勢源將這正電荷
d
q
{\displaystyle \mathrm {d} q}
移至高電位端，所做出的功是
d
W
{\displaystyle \mathrm {d} W}
。電動勢源的電動勢
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
定義為其所作的功每單位電荷
E
=
d
W
/
d
q
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\mathrm {d} W/\mathrm {d} q}
在發電機 裡，電動勢的運作所遵守的主要原理是法拉第感應定律 。含時磁場通過電磁感應 產生電動勢，而這電動勢造成了發電機兩端的電荷分離和電位差。電荷從一個端點移動到另外一個端點，直到兩端的分離電荷所產生的電場能夠阻止更多的電荷分離。電動勢與電荷分離產生的電位差相互抗衡。假設在發電機兩端連結一個負載 ，則電動勢會驅使電流流過負載。
太陽能電池 或光電二極體 是另外一種電動勢源；太陽能電池使用光能為外來能源，可以將光能變為電能，是大面積的光電二極體。
燃料電池 是一種使用燃料進行化學反應產生電力的裝置。最常見的是一種以氫氧 為燃料的質子交換膜燃料電池 ，由於燃料價格平宜，加上對人體無化學危險、對環境無害，發電後產生純水和熱，在商業與工業方面有相當廣泛的用途。
通常的反應途徑會要求初始反應物越過一個能量障壁，進入中間態，最後出現於一個較低能量的狀態。假若涉及到電荷分離，這能量差可能會造成電動勢。更詳細論述，請參閱條目過渡狀態 [ 10] 使用KNO3 玻璃管型鹽橋 的電化電池。 在十九世紀的一大段時間，許多科學家都致力於尋找電池 （伽凡尼電池 ）產生電動勢的機制。最終，瓦爾特·能斯特 發現電動勢的作用點是處於電極 與電解質 之間的接觸面[ 11]
分子 是一群原子靠著化學鍵 連接在一起而形成。這些化學鍵是電子與質子 之間相互吸引的電場力 。孤立的分子是穩定實體；但當將不同的分子集聚在一起時，有些種類的分子能夠偷取其它分子的電子，造成電荷分離。這種電荷重新分佈會改變整個系統的能量，以及分子內部原子的重新組態[ 12]
氧化反應 是化合價 升高，失去電子的反應；還原反應 是化合價降低，獲得電子的反應。發生這種電子交換事件的反應稱為氧化還原反應 。在電池裡，陽極 是發生氧化反應的電極 （或者失去電子的電極）；而陰極 則是發生還原反應的電極（或者獲得電子的電極）。這同樣的物理行為可以從原子本身觀察出來。原子偷取電子的能力稱為電負性 [ 13]
舉例而言，在丹尼耳電池 裡，鋅 陽極的鋅原子會溶解於硫酸鋅 溶液，溶解的鋅原子會遺留其電子於陽極，根據氧化反應（s = 固體陽極，aq = 水溶液）：
Z
n
(
s
)
→
Z
n
2
+
(
a
q
)
+
2
e
−
{\displaystyle \mathrm {Zn} (s)\rightarrow \mathrm {Zn} ^{2+}(aq)+2\mathrm {e} ^{-}}
硫酸鋅是一種電解質 ，在溶液內有可以導電的離子 ，鋅離子
Z
n
2
+
{\displaystyle \mathrm {Zn} _{}^{2+}}
S
O
4
2
−
{\displaystyle \mathrm {SO} _{4}^{2-}}
在丹尼爾電池的銅 陰極區域，根據還原反應，硫酸銅電解質的銅離子會從陰極獲得電子：
C
u
2
+
(
a
q
)
+
2
e
−
→
C
u
(
s
)
{\displaystyle \mathrm {Cu} ^{2+}(aq)+2e^{-}\rightarrow \mathrm {Cu} (s)}
被中性化的銅原子會電鍍 在銅陰極表面[ 14]
電子會通過外電路（示意圖內的檢流計 ），而硫酸根離子會通過鹽橋 ，這樣，可以保持電荷平衡。當反應進行時，鋅陽極會緩慢的溶解，而銅陰極表面會被電鍍。假若外電路被斷開，由於電荷分離產生的電場會抗拒兩個電極之間的電動勢，反應會停止。
在熱力學 裡，電動勢
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
Z
{\displaystyle Z}
功 項目。對於可逆過程 ，當電動勢促使電荷在電池 內移動時，內能 的變化包括這項目：
d
U
=
T
d
S
−
P
d
V
+
E
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-P\mathrm {d} V+{\mathcal {E}}\mathrm {d} Z}
其中，
U
{\displaystyle U}
內能 ，
S
{\displaystyle S}
熵 ，
T
{\displaystyle T}
絕對溫度 ，
V
{\displaystyle V}
P
{\displaystyle P}
壓強 。
假設電池為丹尼耳電池 ，由於在這種電池內進行的反應不會產生氣體，系統體積不變，方程式簡化為
d
U
=
T
d
S
+
E
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S+{\mathcal {E}}\mathrm {d} Z}
讓熵
S
{\displaystyle S}
T
{\displaystyle T}
Z
{\displaystyle Z}
d
S
=
(
∂
S
∂
T
)
Z
d
T
+
(
∂
S
∂
Z
)
T
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} S=\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{Z}\mathrm {d} T+\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}\mathrm {d} Z}
假設等溫過程 ，那麼，方程式右手邊的第一個項目等於零：
d
S
=
(
∂
S
∂
Z
)
T
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} S=\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}\mathrm {d} Z}
將這方程式帶入內能的方程式：
d
U
=
{
E
+
T
(
∂
S
∂
Z
)
T
}
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=\left\{{\mathcal {E}}+T\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}\right\}\mathrm {d} Z}
這方程式右手邊的第二個項目是「充電熱」（heat of charging ），定義為在一個等溫可逆的充電過程，系統的熱能吸收率
C
T
(
Z
)
{\displaystyle C_{T}^{(Z)}}
C
T
(
Z
)
=
d
e
f
d
Q
T
d
Z
=
T
(
∂
S
∂
Z
)
T
{\displaystyle C_{T}^{(Z)}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} Q_{T}}{\mathrm {d} Z}}=T\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}}
吸收率
C
T
(
Z
)
{\displaystyle C_{T}^{(Z)}}
亥姆霍茲自由能
F
{\displaystyle F}
d
F
=
d
U
−
d
(
T
S
)
=
−
S
d
T
+
E
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} F=\mathrm {d} U-\mathrm {d} (TS)=-S\mathrm {d} T+{\mathcal {E}}\mathrm {d} Z}
所以，
(
E
,
Z
)
{\displaystyle ({\mathcal {E}},\ Z)}
共軛變量 （conjugate variables ）。其馬克士威關係式 為：
(
∂
E
∂
T
)
Z
=
−
(
∂
S
∂
Z
)
T
{\displaystyle \left({\frac {\partial {\mathcal {E}}}{\partial T}}\right)_{Z}=-\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}}
帶入內能的方程式：
d
U
=
{
E
−
T
(
∂
E
∂
T
)
Z
}
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=\left\{{\mathcal {E}}-T\left({\frac {\partial {\mathcal {E}}}{\partial T}}\right)_{Z}\right\}\mathrm {d} Z}
通常，電動勢跟溫度
T
{\displaystyle T}
Z
{\displaystyle Z}
d
U
=
(
E
−
T
d
E
d
T
)
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=\left({\mathcal {E}}-T{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {E}}}{\mathrm {d} T}}\right)\mathrm {d} Z}
對於丹尼耳電池，體積不變，假設等壓過程 ，則焓 的改變
Δ
H
{\displaystyle \Delta H}
Δ
H
=
Δ
(
U
+
P
V
)
=
Δ
U
{\displaystyle \Delta H=\Delta (U+PV)=\Delta U}
使得一莫耳 的金屬 原子 進入溶液所需要的電荷量為
Δ
Z
=
z
N
A
e
{\displaystyle \Delta Z=zN_{A}e}
其中，
z
{\displaystyle z}
離子 的電價，
N
A
{\displaystyle N_{A}}
亞佛加厥常數 ，
e
{\displaystyle e}
基本電荷 量。
假設恆壓、恆體積，則電池的熱力學性質與電動勢的緊密關係，以方程式表達為
Δ
H
=
z
N
A
e
(
E
−
T
d
E
d
T
)
{\displaystyle \Delta H=zN_{A}e\left({\mathcal {E}}-T{\frac {d{\mathcal {E}}}{\mathrm {d} T}}\right)}
這樣，只要得到電動勢與溫度之間關係的資料，從測量電動勢和溫度的數據，很容易就能夠準確地計算出某化學反應的反應熱[ 15]
一條長度為
L
{\displaystyle L}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
許多發電機 的基本運作原理涉及動生電動勢概念。移動於磁場的導線，其內部會出現電動勢，稱為「動生電動勢」。如圖右所示[ 16]
L
{\displaystyle L}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
q
{\displaystyle q}
勞侖茲力定律 ，會感受到勞侖茲力
F
l
o
r
e
n
t
z
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}}
F
l
o
r
e
n
t
z
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
在這裡，勞侖茲力也是磁場力 。因為感受到這磁場力，正電荷會往導線的上端移動，負電荷會往導線的下端移動。在穩定平衡狀態，這動作會形成一個電場
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
=
−
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
如同先前方程式（1）的定義，電動勢定義為，遷移正電荷於導線路徑
L
{\displaystyle \mathbb {L} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
=
−
∫
L
E
⋅
d
ℓ
=
∫
L
F
l
o
r
e
n
t
z
q
⋅
d
ℓ
=
v
B
L
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\int _{L}{\frac {\mathbf {F_{lorentz}} }{q}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=vBL}
對於這案例，假若達到穩定平衡狀態，則電流等於零。假設載流導線與其他元件連結成閉電路，則會因為動生電動勢而產生電流。例如，將一個電阻
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
I
=
E
/
R
==
v
B
L
/
R
{\displaystyle I={\mathcal {E}}/R==vBL/R}
在時間
t
{\displaystyle t}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
一個以常速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
法拉第感應定律指出，穿過任意曲面的磁通量 變化率，與圍住這任意曲面的閉迴路所出現的電動勢，兩者之間的關係為：
E
=
−
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
其中，
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
t
{\displaystyle t}
在時間
t
{\displaystyle t}
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
Φ
B
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{B}(t)}
Φ
B
(
t
)
=
d
e
f
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle \Phi _{B}(t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
d
a
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }
法拉第感應定律的方程式，以積分形式表示為
E
=
−
d
d
t
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }
法拉第感應定律表明了磁通量與電動勢之間的關係。本段落會應用一些向量微積分的方法與工具，從這定律的積分形式推導出微分形式。
假設圍住任意曲面
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
全微分 是[ 17]
d
Φ
B
(
t
)
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
+
d
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
+
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
−
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
+
∫
Σ
t
o
t
a
l
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ
r
i
b
b
o
n
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \Phi _{B}(t)&=\int _{\Sigma (t+\mathrm {d} t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t+\mathrm {d} t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+\mathrm {d} t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} +\int _{\Sigma (t+\mathrm {d} t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\mathrm {d} t\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+\mathrm {d} t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\mathrm {d} t\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} +\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} \\\end{aligned}}}
； 其中，
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
Σ
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
Σ
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \Sigma (t+\mathrm {d} t)}
−
Σ
(
t
)
{\displaystyle -\Sigma (t)}
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
∂
Σ
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t+\mathrm {d} t)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
根據散度定理 和高斯磁定律 ，
∫
Σ
t
o
t
a
l
B
⋅
d
a
=
∫
V
t
o
t
a
l
∇
⋅
B
d
r
3
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{\mathbb {V} _{total}}\nabla \cdot \mathbf {B} \ \mathrm {d} r^{3}=0}
其中，
V
t
o
t
a
l
{\displaystyle \mathbb {V} _{total}}
Σ
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
d
r
3
{\displaystyle \mathrm {d} r^{3}}
以線積分表示來表示穿過邊緣曲面
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
∫
Σ
r
i
b
b
o
n
B
⋅
d
a
=
∫
∂
Σ
(
t
)
B
⋅
[
d
ℓ
×
(
v
d
t
)
]
=
∫
∂
Σ
(
t
)
[
(
v
d
t
)
×
B
]
⋅
d
ℓ
{\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} \mathrm {d} t)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} \mathrm {d} t)\times \mathbf {B} ]\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
所以，磁通量對於時間的全導數，或磁通量的變化率為
d
Φ
B
(
t
)
d
t
=
∫
Σ
(
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
−
∫
∂
Σ
(
t
)
v
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}(t)}{\mathrm {d} t}}=\int _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
假設，在以常速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
∂
Σ
{\displaystyle \partial \Sigma }
q
{\displaystyle q}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
w
=
u
+
v
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }
注意到
u
×
d
ℓ
=
0
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=0}
d
Φ
B
(
t
)
d
t
=
∫
Σ
(
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
−
∫
∂
Σ
(
t
)
w
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}(t)}{\mathrm {d} t}}=\int _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {w} \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
這電荷
q
{\displaystyle q}
勞侖茲力
F
L
o
r
e
n
t
z
=
q
(
E
+
w
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{Lorentz}=q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )}
電動勢
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
=
d
e
f
∫
∂
Σ
(
t
)
F
L
o
r
e
n
t
z
q
⋅
d
ℓ
=
∫
∂
Σ
(
t
)
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\partial \Sigma (t)}{\frac {\mathbf {F} _{Lorentz}}{q}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\int _{\partial \Sigma (t)}(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
應用斯托克斯定理 ，
E
=
∫
Σ
(
t
)
(
∇
×
E
)
⋅
d
a
+
∫
∂
Σ
(
t
)
(
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{\Sigma (t)}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} +\int _{\partial \Sigma (t)}(\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
從法拉第感應定律方程式的積分形式，除去相同的線積分項目，即動生電動勢項目，令剩下的感生電動勢項目相等，可以得到
∫
Σ
(
t
)
(
∇
×
E
)
⋅
d
a
=
−
∫
Σ
(
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\Sigma (t)}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-\int _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }
由於
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
這就是法拉第感應定律方程式的微分形式，即馬克士威-法拉第方程式 。反之，也可以從微分形式推導出積分形式。
不論磁場是不含時的或含時的，不論閉迴路是剛硬固定的、是在運動中、是在形變 過程中，法拉第感應定律都成立。但是，對於某些案例，法拉第感應定律並不適用或使用起來很困難。這時候，必須使用勞侖茲力定律。詳盡細節，請參閱法拉第感應定律不適用案例 。
假設閉迴路移動於不含時磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
定向 改變，由於微小元素
B
⋅
d
a
{\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
對比前面所述狀況，假設固定的閉迴路處於含時磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
q
E
{\displaystyle q\mathbf {E} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
^
Alvin M. Halpern, Erich Erlbach. Schaum's outline of theory and problems of beginning physics II . McGraw-Hill Professional. 1998: 138. ISBN 0070257078
^ 本文中的手寫體 Ɛ E 電場強度 。電動勢與電場強度的符號都是大寫英文字母E 。
^ Whittaker, E. T., A history of the theories of aether and electricity. Vol 1 , Nelson, London: pp. 95–96, 191–192, 1951 ^
David J Griffiths, Introduction to Electrodynamics 3rd, Pearson/Adisson Wesley: 292–300, 1999, ISBN 013805326X
^ Richard P. Olenick, Tom M. Apostol and David L. Goodstein, Beyond the mechanical universe: from electricity to modern physics, Cambridge University Press: 245, 1986, ISBN 9780521304306 ^ David M. Cook, The Theory of the Electromagnetic Field, Courier Dover: 158, 2003, ISBN 9780486425672 ^
Van Valkenburgh, Basic Electricity, Cengage Learning: 1–46, 1995, ISBN 9780790610412
^ Lawrence M Lerner, Physics for scientists and engineers , Jones & Bartlett Publishers: 724–727, 1997 [2010-02-11 ] , ISBN 0763704601原始內容 存檔於2020-08-07） ^ Kongbam Chandramani Singh, §3.16 EMF of a source, Basic Physics, Prentice Hall India Pvt Ltd: 152, 2009, ISBN 8120337085 ^
Nikolaus Risch. Molecules - bonds and reactions. L Bergmann; et al (編). Constituents of Matter: Atoms, Molecules, Nuclei, and Particles. CRC Press. 2002. ISBN 0849312027
^ Florian Cajori. A History of Physics in Its Elementary Branches: Including the Evolution of Physical Laboratories . The Macmillan Company. 1899: 218–219. ^ 在這本書內，讀者可以找到大量關於有機電化學的論述：Christian Amatore. Basic concepts. Henning Lund, Ole Hammerich (編). Organic electrochemistry 4. CRC Press. 2000. ISBN 0824704304
^ 電負性的點子，經過延伸後，已經囊括了「電負性等化」的概念，即當分子集聚在一起時，其電子會重新排列，以達到不會感受到任何淨力的平衡狀態。請參閱書籍Francis A. Carey, Richard J. Sundberg. Advanced organic chemistry 5. Springer. 2007: 11 . ISBN 0387683461
^ 這本書籍詳細論述電極與電解質的離子之間電子傳輸的微觀過程：
BE Conway. Energy factors in relation to electrode potential. Electrochemical supercapacitors . Springer. 1999: 37. ISBN 0306457369
^ Colin B P Finn. Thermal Physics. CRC Press. 1992: 163. ISBN 0748743790 ^ Tai L. Chow, Electromagnetic theory, Sudbury MA: Jones and Bartlett: pp. 172-175, 2006, ISBN 0-7637-3827-1 ^ Flanders, Harley, Differentiation under the integral sign, American Mathematical Monthly, Jun–Jul 1973, 80 (6): 615–627, doi:10.2307/2319163
![{\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} \mathrm {d} t)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} \mathrm {d} t)\times \mathbf {B} ]\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b44b90785183ddf8a53f890c9a6c50b062d2a5c)
