雙有理幾何

圓與實直線雙有理等價。圖中展示了其中一種雙有理映射，球極平面投影。

在代數幾何中，雙有理幾何（英語：birational geometry）處理的是代數簇在雙有理等價之下不變的性質，也就是由其函數域決定的性質。這些性質包括維度、算術虧格、幾何虧格、小平維度等等。

曲線的情況

任何曲線都雙有理等價於一條平滑射影曲線。平滑射影曲線之間的有理映射能延拓為態射，雙有理等價對應到同構；因此曲線的雙有理幾何無非是射影曲線的同構及其不變量問題。

高維情況

在零特徵域上，義大利學派在1890-1910年間建立代數曲面的基礎理論，並完成了曲面的雙有理分類。1970年起的工作聚焦於三維以上情形。這方面的指導思想之一是極小模型綱領。

參見

• 雙有理不變量
• 拉開
• 代數曲線
• 代數曲面

文獻

• S. Iitaka, Algebraic geometry, an introduction to birational geometry of algebraic varieties , Springer (1982)
• R. Hartshorne, Algebraic geometry , Springer (1977)