双有理几何

圆与实直线双有理等价。图中展示了其中一种双有理映射，球极平面投影。

在代数几何中，双有理几何（英语：birational geometry）处理的是代数簇在双有理等价之下不变的性质，也就是由其函数域决定的性质。这些性质包括维度、算术亏格、几何亏格、小平维度等等。

曲线的情况

任何曲线都双有理等价于一条平滑射影曲线。平滑射影曲线之间的有理映射能延拓为态射，双有理等价对应到同构；因此曲线的双有理几何无非是射影曲线的同构及其不变量问题。

高维情况

在零特征域上，义大利学派在1890-1910年间建立代数曲面的基础理论，并完成了曲面的双有理分类。1970年起的工作聚焦于三维以上情形。这方面的指导思想之一是极小模型纲领。

参见

• 双有理不变量
• 拉开
• 代数曲线
• 代数曲面

文献

• S. Iitaka, Algebraic geometry, an introduction to birational geometry of algebraic varieties , Springer (1982)
• R. Hartshorne, Algebraic geometry , Springer (1977)