隙積術

垛積術，也稱隙積術，實質上是一種高階等差級數求和問題。由北宋沈括首開先河，南宋楊輝和元朝朱世傑多有貢獻。

沈括在《夢溪筆談》卷十八《技藝》篇首創隙積術，是用來研究某種物品按規律堆積起來求其總數問題。隙積是指酒甕之類的物品，往上堆積成台形之狀，求其總數，這是二階等差級數求和問題。至於垛積是堆垛求積的意思。垛積術是楊輝繼沈括的隙積術之後，開創高階等差級數的研究。元代朱世傑則將垛積術的研究推向最高峰，他使用的招差術實際上是解決了任意高階等差級數的有限項求和問題。

沈括隙積術

北宋沈括在《夢溪筆談》卷十八《技藝》篇，首創隙積術：隙積者，謂積之有隙者，如累棋、層壇及灑家積罌之類。雖似覆鬥，四面皆殺，緣有刻缺及虛隙之處，用芻童法求之，常失於數少。餘思而得之，用爭童法為上位；下位別列：下廣以上廣減之，余者以高乘之，六而一，並入上位。假令積罌：最上行縱橫各二罌，最下行各十二罌，行行相次。先以上二行相次，率至十二，當十一行也。以芻童法求之，倍上行長得四，並入下長得十六，以上廣乘之，得之三十二；又倍下行長得二十四，並入上長，得二十六，以下廣乘之，得三百一十二；並二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下廣十二，以上廣減之，餘十，以高乘之，得一百一十，並入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此為罌數也。芻童求見實方之積，隙積求見合角不盡，益出羨積也

一個層罈，共$h$層，上面$a\times b$，下底$c\times d$，

這是二階等差級數求和問題：

$ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+...+(a+h-1)(b+h-1)$

沈括給出的公式 ${\frac {h}{6}}((2a+c)b+(2c+a)d+(d-b))$

楊輝垛積術

楊輝在《詳解九章算法》《商功》篇闡述了方垛，芻甍垛，芻童垛，和三角垛。

方垛

果子以垛，下方十四個，問計幾何？ 術曰：下方加一，乘下方為平積。又加半為高，以乘下方為高積。如三而一.

$1+4+9+16....n^{2}={\frac {1}{3}}n(n+1)(n+{\frac {1}{2}})={\frac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)$。

芻童垛

即長方形立體垛,上面長$n$個,寬$m$個,高$h$個:

$4*2+5*3+6*4+7*5+\dots +(n+h-1)*(m+h-1)={\frac {h}{6}}((2n+n+h-1))*m+(2(n+h-1)+n)$

三角垛

三角垛下廣一面十二個，上尖，高十二個，問：計幾何?

術曰：下廣加一，乘下廣。平積，下廣加二乘之，立高方積，如六而一。

$1+3+6+10+\dots {\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {1}{6}}n(n+1)(n+2)$

朱世傑垛積術

三角垛

《四元玉鑒》 《果垛疊藏》第一問：

「今有三角垛果子一所，值錢一貫三百二十文，只雲從上一個值錢二文，次下層層每個累貴一文，問底子每面幾何？」

答曰：九個。

術曰：立天元一為每個底子，如積求之，得三萬一千六百八十為益實十為從方，二十一為從上廉，一十四為下廉，三為從隅，三桀方開之，得每個底子，合問。

三角垛級數

$1+3+6+10+...+{\frac {1}{2}}n(n+1)$

三角垛自上而下，每邊的果子數是：

$1,2,3,4,5,6,\dots ,n$

自上而下，每個果子值錢：

$2,3,4,5,6,7,\dots ,(n+1)$

三角果子垛價值V由下列級數表示

$v=2+9+24+50+90+147+224+\dots +{\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}$

這是一個已知級數和，倒求 n 的數學問題。

朱世傑用天元術，令天元一 為每底邊的果子數$x=n$

朱世傑用的求和公式：$v={\frac {1}{2*3*4}}(3x+5)*x*(x+1)*(x+2)$

今$v=1320$得

$3*x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0$

解之，得$x=n=9$。

$v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320$。

三角落一形垛

$1*2*3+2*3*4+3*4*5+\dots +n(n+1)(n+2)={\frac {1}{4}}n(n+1)(n+2)(n+3)$

四角落一形垛

$1*2*3+2*3*5+3*4*7+\dots +n(n+1)(2n+2)={\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}(n+2)$

嵐峰形垛

$1+6+18+\dots +n^{2}(n+1)={\frac {1}{24}}n(n+1)(n+2)(3n+1)$

三角嵐峰形垛

$6+48+180+\dots +n^{2}(n+1)(n+2)={\frac {1}{120}}n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1)$

撒星更落一形垛

$1+5+15+35+70+\dots +{\frac {1}{24}}n(n+1)(n+2)(n+3)={\frac {1}{120}}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$

三角撒星更落一形垛

$1+6+21+56+126+\dots +{\frac {1}{120}}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)={\frac {1}{720}}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)$

四角嵐峰形垛

$6+90+336+900+\dots +n^{2}(n+1)(2n+1)={\frac {1}{10}}n(n+1)(n+2)(n(4n+1+{\frac {1}{2}})+(4n+{\frac {1}{2}}))$