隙积术

垛积术，也称隙积术，实质上是一种高阶等差级数求和问题。由北宋沈括首开先河，南宋杨辉和元朝朱世杰多有贡献。

沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇首创隙积术，是用来研究某种物品按规律堆积起来求其总数问题。隙积是指酒瓮之类的物品，往上堆积成台形之状，求其总数，这是二阶等差级数求和问题。至于垛积是堆垛求积的意思。垛积术是杨辉继沈括的隙积术之后，开创高阶等差级数的研究。元代朱世杰则将垛积术的研究推向最高峰，他使用的招差术实际上是解决了任意高阶等差级数的有限项求和问题。

沈括隙积术

北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇，首创隙积术：隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及洒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。馀思而得之，用争童法为上位；下位别列：下广以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上位。假令积罂：最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次。先以上二行相次，率至十二，当十一行也。以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二；又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二；并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下广十二，以上广减之，馀十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此为罂数也。刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡积也

一个层坛，共$h$层，上面$a\times b$，下底$c\times d$，

这是二阶等差级数求和问题：

$ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+...+(a+h-1)(b+h-1)$

沈括给出的公式 ${\frac {h}{6}}((2a+c)b+(2c+a)d+(d-b))$

杨辉垛积术

杨辉在《详解九章算法》《商功》篇阐述了方垛，刍甍垛，刍童垛，和三角垛。

方垛

果子以垛，下方十四个，问计几何？ 术曰：下方加一，乘下方为平积。又加半为高，以乘下方为高积。如三而一.

$1+4+9+16....n^{2}={\frac {1}{3}}n(n+1)(n+{\frac {1}{2}})={\frac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)$。

刍童垛

即长方形立体垛,上面长$n$个,宽$m$个,高$h$个:

$4*2+5*3+6*4+7*5+\dots +(n+h-1)*(m+h-1)={\frac {h}{6}}((2n+n+h-1))*m+(2(n+h-1)+n)$

三角垛

三角垛下广一面十二个，上尖，高十二个，问：计几何?

术曰：下广加一，乘下广。平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一。

$1+3+6+10+\dots {\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {1}{6}}n(n+1)(n+2)$

朱世杰垛积术

三角垛

《四元玉鉴》 《果垛叠藏》第一问：

“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贵一文，问底子每面几何？”

答曰：九个。

术曰：立天元一为每个底子，如积求之，得三万一千六百八十为益实十为从方，二十一为从上廉，一十四为下廉，三为从隅，三桀方开之，得每个底子，合问。

三角垛级数

$1+3+6+10+...+{\frac {1}{2}}n(n+1)$

三角垛自上而下，每边的果子数是：

$1,2,3,4,5,6,\dots ,n$

自上而下，每个果子值钱：

$2,3,4,5,6,7,\dots ,(n+1)$

三角果子垛价值V由下列级数表示

$v=2+9+24+50+90+147+224+\dots +{\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}$

这是一个已知级数和，倒求 n 的数学问题。

朱世杰用天元术，令天元一 为每底边的果子数$x=n$

朱世杰用的求和公式：$v={\frac {1}{2*3*4}}(3x+5)*x*(x+1)*(x+2)$

今$v=1320$得

$3*x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0$

解之，得$x=n=9$。

$v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320$。

三角落一形垛

$1*2*3+2*3*4+3*4*5+\dots +n(n+1)(n+2)={\frac {1}{4}}n(n+1)(n+2)(n+3)$

四角落一形垛

$1*2*3+2*3*5+3*4*7+\dots +n(n+1)(2n+2)={\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}(n+2)$

岚峰形垛

$1+6+18+\dots +n^{2}(n+1)={\frac {1}{24}}n(n+1)(n+2)(3n+1)$

三角岚峰形垛

$6+48+180+\dots +n^{2}(n+1)(n+2)={\frac {1}{120}}n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1)$

撒星更落一形垛

$1+5+15+35+70+\dots +{\frac {1}{24}}n(n+1)(n+2)(n+3)={\frac {1}{120}}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$

三角撒星更落一形垛

$1+6+21+56+126+\dots +{\frac {1}{120}}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)={\frac {1}{720}}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)$

四角岚峰形垛

$6+90+336+900+\dots +n^{2}(n+1)(2n+1)={\frac {1}{10}}n(n+1)(n+2)(n(4n+1+{\frac {1}{2}})+(4n+{\frac {1}{2}}))$