阿廷環

定義

一個環 $A$ 稱作阿廷環，若且唯若對每個由 $A$ 的理想構成的降鏈 ${\mathfrak {a}}_{1}\supset {\mathfrak {a}}_{2}\supset \ldots ,\supset {\mathfrak {a}}_{n}\supset \ldots$ ，必存在 $N\subset \mathbb {N}$ ，使得對所有的 $n,m\geq N$ 都有 ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{m}$ （換言之，此降鏈將會固定）。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左阿廷環與右阿廷環，A是左（右）阿廷環若且唯若A在自己的左（右）乘法下形成一個左（右）阿廷模；對於交換環則無須分別左右。

例子

設 $k$ 為一個域，若環 $A$ 是佈於 $k$ 上的有限維代數，則 $A$ 是阿廷環。

基本性質

若一個環 $A$ 是交換阿廷環，則滿足下列性質：

$A$ 是諾特環。
每個素理想皆是極大理想。
$A$ 僅有有限個素理想。
對每個素理想的局部化誘導出同構 $A{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\prod _{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {p}}$ 。

就代數幾何的觀點，阿廷環的譜在拓樸上只是有限多個點，但其結構層可能帶有冪零的元素，這就使得局部阿廷環成為描述無窮小變化量的代數語言。

參見條目

阿廷代數（英語：Artin algebra）
阿廷理想（英語：Artinian ideal）
Serial module（英語：Serial module）
Semiperfect ring（英語：Semiperfect ring）
葛侖斯坦環——交換諾特環，其關於每個素理想的局部化，內射維度皆有限
諾特環——不具無窮遞升理想鏈的環

文獻

Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712--730.
Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X