阿廷环

定义

一个环 $A$ 称作阿廷环，当且仅当对每个由 $A$ 的理想构成的降链 ${\mathfrak {a}}_{1}\supset {\mathfrak {a}}_{2}\supset \ldots ,\supset {\mathfrak {a}}_{n}\supset \ldots$ ，必存在 $N\subset \mathbb {N}$ ，使得对所有的 $n,m\geq N$ 都有 ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{m}$ （换言之，此降链将会固定）。

将上述定义中的理想代换为左理想或右理想，可以类似地定义左阿廷环与右阿廷环，A是左（右）阿廷环当且仅当A在自己的左（右）乘法下形成一个左（右）阿廷模；对于交换环则无须分别左右。

例子

设 $k$ 为一个域，若环 $A$ 是布于 $k$ 上的有限维代数，则 $A$ 是阿廷环。

基本性质

若一个环 $A$ 是交换阿廷环，则满足下列性质：

$A$ 是诺特环。
每个素理想皆是极大理想。
$A$ 仅有有限个素理想。
对每个素理想的局部化诱导出同构 $A{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\prod _{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {p}}$ 。

就代数几何的观点，阿廷环的谱在拓朴上只是有限多个点，但其结构层可能带有幂零的元素，这就使得局部阿廷环成为描述无穷小变化量的代数语言。

参见条目

阿廷代数（英语：Artin algebra）
阿廷理想（英语：Artinian ideal）
Serial module（英语：Serial module）
Semiperfect ring（英语：Semiperfect ring）
葛仑斯坦环——交换诺特环，其关于每个素理想的局部化，内射维度皆有限
诺特环——不具无穷递升理想链的环

文献

Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712--730.
Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X