跳至內容

達布變換

維基百科,自由的百科全書

達布變換(Darboux Transformation)是1882年法國數學家達布發現的一種求偏微分方程精確顯式解的變換法。達布變換在求KdV方程,MKdV方程高維AKNS系統sine-Gordon方程sinh-Gordon方程高階Broer Kaup系統的精確解方面,有廣泛用途。

1882年,達布研究一維薛丁格方程特徵值問題:[1]

他發現作一個變換:

其中

其中時一維薛丁格方程的解,

則當 時,必定滿足另一個相關的一維薛丁格方程

λ

達布變換也稱為Bäcklund變換,其特點在於根據已知的一個解作為種子,經過變換之後,獲得完全可積的新方程組,由此得出另一個新的解。[2]

KdV方程的達布變換

1977年Wahlquist等學者發現[3],達布變換也適用於KdV方程,從而將薛丁格方程的達布變換推廣為KdV方程的達布變換[4]

KdV方程:

是其LAX對的可積條件:

經過達布變換(u,Φ)→(u',Φ')得到

因此,只要從LAX對求得一個解,然後通過達布變換(u,Φ)→(u',Φ')就可以得到KdV方程的新解,還可以不斷進行連鎖式達布變換(u,Φ)→(u',Φ')→(u)→(u)……以得到KdV方程大量的解。<ref谷超豪《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》2-3頁上海科學技術出版社</ref>

矩陣形式

幾何應用

負常曲率曲面

負常曲率曲面

十九世紀八十年代發現一個負常曲率曲面Sine-Gordon方程一個非零解,又發現通過Bäcklund變換可以從一個負常曲率曲面得到另一個負常曲率曲面[5]

偽球線匯

自對偶楊-米爾斯流

參考文獻

  1. ^ 谷超豪孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》1-2頁,上海科學技術出版社
  2. ^ 閻振亞《複雜非線性波的構造性理論及其應用》7頁,科學出版社,2007年
  3. ^ Wahlquist et al, Bäcklund transformation for solitons of the Kortweg-de Vries Equation, Phys Rev Lett 1973,31:1386
  4. ^ 谷超豪《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》2-4頁上海科學技術出版社
  5. ^ 谷超豪《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》160頁上海科學技術出版社