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西爾維斯特矩陣

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西爾維斯特矩陣,是與兩個多項式相關的矩陣,從這個矩陣可以知道這兩個多項式的一些信息。

定義

pq為兩個多項式,次數分別為mn。因此:

於是,與pq相關的西爾維斯特矩陣,就是通過以下方法得到的矩陣

  • 第一行為:
  • 第二行是第一行往右移一列;第二行第一列的元素是零。
  • 下面的(n-2)行也是用這種方法得出,每次都往右移一列。
  • 第(n+1)行為:
  • 餘下的行仍然是每次都往右移一列。

因此,如果我們設m=4和n=3,則矩陣為:

應用

西爾維斯特矩陣用於交換代數中,例如測試兩個多項式是否有一個(非常數)公因式。確實,在這種情況下,相關的西爾維斯特矩陣的行列式(稱為兩個多項式的結式)等於零。反過來也成立。

以下線性方程組的解

其中是大小為的向量,是大小為的向量,由滿足下式的多項式對(次數分別為)的係數向量構成:

這就是說,西爾維斯特矩陣的轉置的給出了裴蜀方程的所有解,其中

這樣,西爾維斯特矩陣的決定了最大公因式的次數:

參考文獻