西克曼骰子

西克曼骰子（英語：Sicherman dice）是一對具有非標準數字的六面骰子，其中一面的數字為1、2、2、3、3、4，另一面為1、3、4、5、6、8。它們是唯一一對非常規的正整數六面骰子，且求和的概率分佈與普通骰子相同。它們是由紐約州布法羅市的喬治·西克曼（George Sicherman）於1978年發明。

數學

初等組合數學的標準練習是計算用一對公平的六面骰子投擲出任何給定值的方法數（取兩次投擲的總和）。下表列出了投擲給定值n的方法數：

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
方法數	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

瘋狂骰子是初等組合數學中的一種數學練習，涉及對一對六面骰子的面進行重新標記，以重現與標準標記相同的和的頻率。西克曼骰子是只用正整數重新標註的瘋狂骰子。（如果整數不一定是正數，為了得到相同的概率分布，一個骰子每個面上的數字可以減少k，另一個骰子的數字可以增加k，對於任意自然數k，都可以得到無窮多的解法。）

下表列出了用標準骰子和西克曼骰子投擲的所有可能總數。為清晰起見，一個西克曼骰子是彩色的：1-2-2-3-3-4，另一個是全黑的：1-3-4-5-6-8。

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
標準骰子	1+1	1+2 2+1	1+3 2+2 3+1	1+4 2+3 3+2 4+1	1+5 2+4 3+3 4+2 5+1	1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1	2+6 3+5 4+4 5+3 6+2	3+6 4+5 5+4 6+3	4+6 5+5 6+4	5+6 6+5	6+6
西克曼骰子	1+1	2+1 2+1	1+3 3+1 3+1	1+4 2+3 2+3 4+1	1+5 2+4 2+4 3+3 3+3	1+6 2+5 2+5 3+4 3+4 4+3	2+6 2+6 3+5 3+5 4+4	1+8 3+6 3+6 4+5	2+8 2+8 4+6	3+8 3+8	4+8

歷史

西克曼骰子是由由紐約州布法羅市的喬治·西克曼發現，最初由馬丁·葛登能在1978年的《科學人》一篇文章中報導。

可以對數字進行排列，以使相對面的所有數字對的總和相等，第一個骰子數字總和為5，第二個數字總和為9。

後來，加德納在給西克曼的信中提到，在他認識的一位魔術師預見到了西克曼的發現。

數學論證

假設一個標準n面骰子是一個n面體，其面用整數[1,n]標記，使擲出每個數字的概率為1/n。考慮到標準立方體（六面）骰子。投擲這種骰子的生成函數是 $x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}$ .該多項式與其自身的乘積就是投擲一對骰子的生成函數： $x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+5x^{8}+4x^{9}+3x^{10}+2x^{11}+x^{12}$ . 根據循環多項式理論，我們知道

x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x).

其中d是n的除數， $\Phi _{d}(x)$ 是第d個循環多項式，且

{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^{n-1}

.

因此，我們推導出單個n面規範骰子的生成函數為

x+x^{2}+\cdots +x^{n}={\frac {x}{x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x)

且 $\Phi _{1}(x)=x-1$ 被排除。因此六面標準骰子的生成函數可被因式分解為

x\,\Phi _{2}(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)

.

投擲兩個骰子的生成函數是每個因子的兩個副本的乘積。我們怎樣才能將它們分割成兩個點數不是傳統排列的合規骰子呢？這裡的「合規」是指骰子的係數都是非負數且總和為6，這樣每個骰子就有六個面，每個面上至少有一個點。(也就是說，每個骰子的生成函數必須是多項式p(x)，且係數為正，p(0)=0，p(1)=6。）僅存在一種這樣的情況：

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}

和

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{8}

這樣，一對西克曼骰子上的點數分佈如上所述，分別為{1,2,2,3,3,4}和{1,3,4,5,6,8}。

這種方法可以擴展到任意邊數的骰子。

參考資料

延伸閱讀

Broline, D., Renumbering of the faces of dice, Mathematics Magazine (Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 5), 1979, 52 (5): 312–315, JSTOR 2689786, doi:10.2307/2689786

Brunson, B. W.; Swift, Randall J., Equally likely sums, Mathematical Spectrum, 1998, 30 (2): 34–36

Fowler, Brian C.; Swift, Randall J., Relabeling dice, College Mathematics Journal (The College Mathematics Journal, Vol. 30, No. 3), 1999, 30 (3): 204–208, JSTOR 2687599, doi:10.2307/2687599

Gallian, J. A.; Rusin, D. J., Cyclotomic polynomials and nonstandard dice, Discrete Mathematics, 1979, 27 (3): 245–259, MR 0541471, doi:10.1016/0012-365X(79)90161-4