西克曼骰子

西克曼骰子（英语：Sicherman dice）是一对具有非标准数字的六面骰子，其中一面的数字为1、2、2、3、3、4，另一面为1、3、4、5、6、8。它们是唯一一对非常规的正整数六面骰子，且求和的概率分布与普通骰子相同。它们是由纽约州布法罗市的乔治·西克曼（George Sicherman）于1978年发明。

数学

初等组合数学的标准练习是计算用一对公平的六面骰子投掷出任何给定值的方法数（取两次投掷的总和）。下表列出了投掷给定值n的方法数：

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
方法数	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

疯狂骰子是初等组合数学中的一种数学练习，涉及对一对六面骰子的面进行重新标记，以重现与标准标记相同的和的频率。西克曼骰子是只用正整数重新标注的疯狂骰子。（如果整数不一定是正数，为了得到相同的概率分布，一个骰子每个面上的数字可以减少k，另一个骰子的数字可以增加k，对于任意自然数k，都可以得到无穷多的解法。）

下表列出了用标准骰子和西克曼骰子投掷的所有可能总数。为清晰起见，一个西克曼骰子是彩色的：1-2-2-3-3-4，另一个是全黑的：1-3-4-5-6-8。

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
标准骰子	1+1	1+2 2+1	1+3 2+2 3+1	1+4 2+3 3+2 4+1	1+5 2+4 3+3 4+2 5+1	1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1	2+6 3+5 4+4 5+3 6+2	3+6 4+5 5+4 6+3	4+6 5+5 6+4	5+6 6+5	6+6
西克曼骰子	1+1	2+1 2+1	1+3 3+1 3+1	1+4 2+3 2+3 4+1	1+5 2+4 2+4 3+3 3+3	1+6 2+5 2+5 3+4 3+4 4+3	2+6 2+6 3+5 3+5 4+4	1+8 3+6 3+6 4+5	2+8 2+8 4+6	3+8 3+8	4+8

历史

西克曼骰子是由由纽约州布法罗市的乔治·西克曼发现，最初由马丁·加德纳在1978年的《科学美国人》一篇文章中报导。

可以对数字进行排列，以使相对面的所有数字对的总和相等，第一个骰子数字总和为5，第二个数字总和为9。

后来，加德纳在给西克曼的信中提到，在他认识的一位魔术师预见到了西克曼的发现。

数学论证

假设一个标准n面骰子是一个n面体，其面用整数[1,n]标记，使掷出每个数字的概率为1/n。考虑到标准立方体（六面）骰子。投掷这种骰子的生成函数是 $x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}$ .该多项式与其自身的乘积就是投掷一对骰子的生成函数： $x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+5x^{8}+4x^{9}+3x^{10}+2x^{11}+x^{12}$ . 根据循环多项式理论，我们知道

x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x).

其中d是n的除数， $\Phi _{d}(x)$ 是第d个循环多项式，且

{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^{n-1}

.

因此，我们推导出单个n面规范骰子的生成函数为

x+x^{2}+\cdots +x^{n}={\frac {x}{x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x)

且 $\Phi _{1}(x)=x-1$ 被排除。因此六面标准骰子的生成函数可被因式分解为

x\,\Phi _{2}(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)

.

投掷两个骰子的生成函数是每个因子的两个副本的乘积。我们怎样才能将它们分割成两个点数不是传统排列的合规骰子呢？这里的“合规”是指骰子的系数都是非负数且总和为6，这样每个骰子就有六个面，每个面上至少有一个点。(也就是说，每个骰子的生成函数必须是多项式p(x)，且系数为正，p(0)=0，p(1)=6。）仅存在一种这样的情况：

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}

和

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{8}

这样，一对西克曼骰子上的点数分布如上所述，分别为{1,2,2,3,3,4}和{1,3,4,5,6,8}。

这种方法可以扩展到任意边数的骰子。

参考资料

延伸阅读

Broline, D., Renumbering of the faces of dice, Mathematics Magazine (Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 5), 1979, 52 (5): 312–315, JSTOR 2689786, doi:10.2307/2689786

Brunson, B. W.; Swift, Randall J., Equally likely sums, Mathematical Spectrum, 1998, 30 (2): 34–36

Fowler, Brian C.; Swift, Randall J., Relabeling dice, College Mathematics Journal (The College Mathematics Journal, Vol. 30, No. 3), 1999, 30 (3): 204–208, JSTOR 2687599, doi:10.2307/2687599

Gallian, J. A.; Rusin, D. J., Cyclotomic polynomials and nonstandard dice, Discrete Mathematics, 1979, 27 (3): 245–259, MR 0541471, doi:10.1016/0012-365X(79)90161-4