表達式

表達式（expression）此處是數學表達式（mathematical expression）的簡稱，在數學領域中是一些符號依據上下文的規則，有限而定義良好的組合。數學符號可用於標定常數、變量、操作、函數、括號、標點符號和分組，幫助確定操作順序以及有其它考量的邏輯語法。^[1]

表達式隨語境或不同領域學科也稱：表示式、數學式、運算式（operation expression）、表式、陳式、算式；數學術語若是複合詞，表達式也常簡作「式」；例如：代數式（algebraic expression）、漸近式（asymptotic expression）。

範例

表達式有簡單的，例如：

0+0

8x-5

（線性多項式）

7{{x}^{2}}+4x-10

（二次多項式）

{\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}

（有理分式）

也有複雜的：

f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {\operatorname {d} \!^{k}}{\operatorname {d} \!t^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {\operatorname {d} \!^{n+1}}{\operatorname {d} \!t^{n+1}}}f(u(t))\,\operatorname {d} \!t.

各種表達式的分類列表

數學表達式的各種形式包括了算術、多項式、代數、閉合形式和解析的表達式。下表列出了這些種類中所可能包含的元素。

閱論編	算式	多項式	代數式	閉合形式	解析式	數學表達式
常數	是	是	是	是	是	是
變數	是	是	是	是	是	是
四則運算	是	是	是	是	是	是
階乘	是	是	是	是	是	是
整數指數冪	否	是	是	是	是	是
N次方根	否	否	是	是	是	是
有理數冪	否	否	是	是	是	是
實數指數冪	否	否	否	是	是	是
對數	否	否	否	是	是	是
三角函數	否	否	否	是	是	是
反三角函數	否	否	否	是	是	是
雙曲函數	否	否	否	是	是	是
反雙曲函數	否	否	否	是	是	是
Γ函數	否	否	否	否	是	是
Bessel函數	否	否	否	否	是	是
特殊函數	否	否	否	否	是	是
連分數	否	否	否	否	是	是
級數	否	否	否	否	是	是
形式冪級數	否	否	否	否	否	是
微分	否	否	否	否	否	是
極限	否	否	否	否	否	是
積分	否	否	否	否	否	是

語法與語義

語法

表達式是一個句法結構，它必須具有良好定義的形式。表達式中的運算符必須在正確位置有正確的輸入數，組成這些輸入的字符必須是有效的，具有明確的運算次序等。違反語法規則的字符，不會構成有效的數學表達式。例如，在一般算術符號中，表達式 1 + 2 × 3 是形式良好的，而下面的表達式則不是：

\times 4)x+,/y

.

語義

表達式的語義是對語句意義的研究，邏輯語義學是關於所傳達的意義。在代數中，可用表達式指定一個值；而這個結果值取決於對式中變量所賦予的值，經由附加語義的運算符操作後以確定該值。語義的選擇則根據表達式的上下文。同一個表達式 1 + 2 × 3 可能會有不同結果（依算數慣例的結果為7，也可能是9），這取決於上下文中隱含的運算次序。

語義規則可以聲明某些表達式並無指定值（例如，當它們除以0時）；對這表達式稱為未定義，但它們仍然以良好的形式表現出來。廣義來說，表達式的意義並不侷限於指定值；例如，表達式可用於指定條件，表示要被求解的方程式，或將其視為可根據某些規則而操作的對象。有指定值的表達式同時也代表了有假設前提，例如與運算符 $\oplus$ 有關的假設前提，會指定一個內部的直接和（direct sum）。

形式語言和lambda演算

表達式和其賦值曾在1930年代由阿隆佐·邱奇和Stephen Kleene在其 $\lambda$ 演算中被公式化。 $\lambda$ 演算對現代數學和電腦程式語言的發展都曾有過重大的影響。

$\lambda$ 演算有著一個更有趣的推論，在某些情況之下，兩個表達式的等值與否是無法決定的。而且這個推論在任一和 $\lambda$ 演算有同樣功用的系統內也都是成立的。

變量

許多數學表達式中包括變量，變量又區分為自由變量或約束變量兩種。對於自由變量賦值的一給定組合，進行對表達式的評估，然而這些賦值的某些組合在評估整句表達式後的結果，可能沒有定義。因此一個表達式表示一個函數，其輸入是賦予自由變量的值，其輸出是表達式的結果值。

舉例來說，表達式 ${\frac {x}{y}}$ ，分別使自由變數 $x$ 和 $y$ 定值為 $10$ 和 $5$ ，其輸出為數字 $2$ ；
但注意在 $y$ 值為 $0$ 時，則這表達式沒有定義。

數學表達式的評估取決於上下文背景對式中運算符的定義，賦值的定義域和評估結果的域。如果兩個表達式之中的變量，對於它們賦值的每一種組合都產生相同的輸出，則這兩個表達式被認定為相等，即它們實為相同的函數。

例如，表達式 $\sum _{n=1}^{3}2nx$ 有自由變數 $x$ 、約束變數 $n$ 、常數 $1,2,3$ 、兩個內含的乘法算符和一個總和算符。
此一表達式和另一較簡單的表達式 $12x$ 相等。 $x=3$ 時的值為 $36$ 。

參見

參考資料

^ Oxford English Dictionary, s.v. 「Expression (n.), sense II.7,」 "A group of symbols which together represent a numeric, algebraic, or other mathematical quantity or function."

外部連結

Axiomatic Theory of Formulas - theory of expressions on high abstraction level.
Plot mathematical expressions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） this system plots math equations, graphs, diagrams, and even animated cartoons of transformation of math expressions and arithmetic operations. Knowledge of TeX not required.

[1] Oxford English Dictionary, s.v. 「Expression (n.), sense II.7,」 "A group of symbols which together represent a numeric, algebraic, or other mathematical quantity or function."

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