留數定理

在複分析中，留數定理，又叫殘數定理（英語：Residue theorem），是用來計算解析函數沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計算實函數的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推論。

定理

假設$U$是複平面上的一個單連通開子集，$a_{1},\cdots ,a_{n}$是複平面上有限個點，$f$是定義在$U\setminus {a_{1},\cdots ,a_{n}}$的全純函數。如果$\gamma$是一條把$a_{1},\cdots ,a_{n}$包圍起來的可求長曲線，但不經過任何一個$a_{k}$，並且其起點與終點重合，那麼：

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).$

如果γ是若爾當曲線，那麼I(γ, a_k) = 1，因此：

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).$

在這裡，Res(f, a_k)表示f在點a_k的留數，I(γ, a_k)表示γ關於點a_k的卷繞數。卷繞數是一個整數，它描述了曲線γ繞過點a_k的次數。如果γ依逆時針方向繞著a_k移動，卷繞數就是一個正數，如果γ根本不繞過a_k，卷繞數就是零。

例子

實軸上的積分

以下的積分

$\int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx$

積分路徑

在計算柯西分布的特徵函數時會出現，用初等微積分計算並不容易。我們把這個積分表示成一個路徑積分的極限，積分路徑為沿著實直線從−a到a，然後再依逆時針方向沿著以0為中心的半圓從a到−a。取a為大於1，使得虛數單位i包圍在曲線裡面。路徑積分為：

$\int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.$

由於e^itz是一個整函數（沒有任何奇點），這個函數僅當分母z² + 1為零時才具有奇點。由於z² + 1 = (z + i)(z − i)，因此這個函數在z = i或z = −i時具有奇點。這兩個點只有一個在路徑所包圍的區域中。

由於f(z)是

${\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,\!$	${}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\,\!$
	${}={\frac {e^{itz}}{2i}}{\frac {1}{z-i}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\,\!$

f(z)在z = i的留數是：

$\operatorname {Res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.$

根據留數定理，我們有：

$\int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.$

路徑C可以分為一個「直」的部分和一個曲線弧，使得：

$\int _{\mbox{straight}}+\int _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,$

因此

$\int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\mbox{arc}}.$

如果t > 0，那麼當半圓的半徑趨於無窮大時，沿半圓路徑的積分趨於零：

$\int _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\leq \int _{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^{2}+1}\right|\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^{2}+1|}\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{1 \over |z^{2}+1|}\,|dz|\leq \int _{\mbox{arc}}{1 \over a^{2}-1}\,|dz|={\frac {\pi a}{a^{2}-1}}\rightarrow 0\ {\mbox{as}}\ a\rightarrow \infty .$

上述結果也可以直接由Jordan引理得到，要注意這裡的半圓弧上積分隨半徑增長趨於0必須要$t>0$才能成立，所以如果$t<0$就必須考慮下半平面上的半圓弧。

因此，如果t > 0，那麼：

$\int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.$

類似地，如果曲線是繞過−i而不是i，那麼可以證明如果t < 0，則

$\int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},$

因此我們有：

$\int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$

（如果t = 0，這個積分就可以很快用初等方法算出來，它的值為π。）

無窮級數

由於$\pi \cot(\pi z)$在$z$為整數時皆為一階極點，並且留數皆為$1$，因此可以用來計算如下所示級數：

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)$

在此處令$f(z)=z^{-2}$，並且令$\Gamma _{N}$為$\left[-N-{\frac {1}{2}},N+{\frac {1}{2}}\right]^{2}$的正方形正向（逆時針）圍道（其中$N$為整數），於是依留數定理：

${\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z^{2}}}\mathrm {d} z=\operatorname {Res} _{z=0}+{\underset {n\neq 0}{\sum _{n=-N}^{N}}}{\frac {1}{n^{2}}}$

當$N\to \infty$時，等式左側由於$O(n^{-2})$而趨於零；另一方面：

${\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}=1-{\frac {B_{2}z^{2}}{2!}}+\cdots =1-{\frac {z^{2}}{12}}+\cdots$

其中有伯努利數$B_{2}={\frac {1}{6}}$。

（實際上有${\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}={\frac {\mathrm {i} z}{1-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}-{\frac {\mathrm {i} z}{2}}$）因此，$\operatorname {Res} _{z=0}=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}$，可以得出：

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

即為巴塞爾問題的證明之一。

參見

• 留數
• 路徑積分
• 莫雷拉定理
• 傅立葉變換
• 拉普拉斯變換

參考文獻

• Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-085008-9 
• Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan, The Cauchy method of residues: Theory and applications, D. Reidel Publishing Company, 1984, ISBN 90-277-1623-4 
• Lindelöf, Ernst, Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, Editions Jacques Gabay, 19051989, ISBN 2-87647-060-8 

外部連結

• Mathworld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• John H. Mathews所作的留數定理教程