奇点 (几何)

曲線上的奇點（英語：Singular point）是指曲線上參數無法光滑變化的部份。具体定義要視曲線的具体種類而定。

平面上的代數曲線

平面上的代數曲線可以定義為滿足方程f(x, y)=0的點的集合，其中f是多項式函數。

若f展開為以下的形式

f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots \,

且若原點(0, 0)在曲線上，則a₀=0。若b₁≠0，則隐函数定理可確定有一光滑函數h，使得在原點附近y=h(x)會成立。同様的，若b₀≠0，則在原點附近曲線會接近x=k(y) 。上述任何一個情形下，都有一個光滑映射從R映射到原點附近曲線所在的平面，注意在原點處

b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},

因此只要任何一個f的偏導數不為零，曲線即為非奇異。曲線的奇點出現在二個偏導數皆為零的位置。

f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.

非奇異點

假設曲線通過原點，原點附近可近似為y=mx，則f可以寫為如下的式子

f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\dots .\,

若b₀+mb₁不為零，則f=0在x=0處有階數為1的解。若b₀+mb₁=0 ，則f=0在x=0處有階數為2（或更高）的解，且y=mx及b₀x+b₁y=0都會是曲線的切線。此時，若if c₀+2mc₁+c₂m²不為零，則曲線在和y=mx接觸處有二重点（point of double）。若x², c₀+2mc₁+c₂m²的係數為零，但x³係數不為零，則原點是曲線的拐点。若x²和x³的係數都是零，則原點稱為曲線的波动点（point of undulation）。上述分析可以應用在曲線上的任意點，只要平移座標軸，使要分析的點變成原點即可^[1]。

二重點

若在上述說明中，b₀和b₁都是零，但至少c₀、c₁和c₂中有一個不為零，則原點即為曲線的二重点。再令y=mx，則f可寫成

f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\dots .\,

二重點可以依以下方程的解來分類： c₀+2mc₁+m²c₂=0.

叉點

若c₀+2mc₁+m²c₂=0有二個m的實根，也就是c₀c₂−c₁²<0，則原點為叉點。曲線在叉點和自身相交，二條切線對應c₀+2mc₁+m²c₂=0的二個解。原點為函數f的鞍點。

孤立點

若c₀+2mc₁+m²c₂=0沒有m的實根，也就是c₀c₂−c₁²>0，則原點為孤立點。在實數平面上，原點為曲線的一個孤点，不過若當做複數曲線來考慮，c₀+2mc₁+m²c₂=0的二部份的解之間有複數的切線相連。此情形下函數在原點處有极值。

尖點

若c₀+2mc₁+m²c₂=0有一個m的二重根，也就是c₀c₂−c₁²=0，原點稱為尖點。此時曲線在原點變動方向，產生一個尖銳的圖形。曲線在原點處有單一的切線，但是可視為二條恰好重合的切線。

進一步的分類

node一詞是用來表示叉點或是孤立點，也就是不為尖點的二重點。曲線中node數量及尖點數量是二個曲線的不變量，在普吕克公式（英语：Plücker formula）中有用到。

若c₀+2mc₁+m²c₂=0的一個解也是d₀+3md₁+3m²d₂+m³d₃=0的解，則曲線對應的分支在原點為拐點，此時原點稱為flecnode。若兩條切線都有此性質，則c₀+2mc₁+m²c₂為d₀+3md₁+3m²d₂+m³d₃的因式，原點稱為biflecnode^[2]。

三重點

若f中所有小於k次方的係數都為零，且至少有一項k次方的係數不為0，此曲線即有k階的多重點。一般而言曲線在原點處有k條切線，不過有些切線可能會是虛數^[3]。

以參數式表示的曲線

R²平面中的參數曲線定義為由R→R²函數 g的像，函數g(t) = (g₁(t),g₂(t))。其中的奇點為滿足以下條件的點

{dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.

許多曲線可以用方程式來定義，也可以用參數方程定義。代數曲線x³−y² = 0會有一尖點，若改用參數式g(t) = (t²,t³)，尖點仍然存在。

不過有時奇點的數量可能會隨定義方式而不同。例如y²−x³−x² = 0在原點有一奇點，為叉點，但若用參數式g(t) = (t²−1,t(t²−1))，因為g′(t) 在任意位置都不為零，因此同一曲線的參數式中，不存在奇點。

在將曲線用參數方程表示時，參數的選擇會影響一些相關的分析。例如直線y = 0，本身不存在奇點，若用參數方程g(t) = (t,0)，也沒有奇，但若用參數方程g(t) = (t³,0)表示，在原點處就會有一個奇點。因此參數式奇點的專業用語應該稱為光滑映射的奇點（singular points of a smooth mapping）比較合適。

哈斯勒·惠特尼有一定理提到^[4]^[5]

任意Rⁿ內的闭集都可以表示為某一光滑函數f:Rⁿ→R，其方程f⁻¹(0)的解集合。

上述的定義可以延伸到用隱函數定義的曲線，定義方式為f⁻¹(0)的解集合，而f為光滑函數，因此不一定只考慮代數簇，可以延伸到更高維度的曲線。

任何參數化的曲線可以定義為隱函數的曲線，曲線奇点的分類也會在代數簇上的奇點（英语：singular point of an algebraic variety）的分類中加以研究。

奇點的種類

以下是一些可能的奇點：

單獨的一個點：x²+y² = 0，屬於孤立点
二條線交於一點：x²−y² = 0，屬於叉点
尖點：x³−y² = 0
rhamphoid尖點：x⁵−y² = 0.

參考資料

^ Hilton Chapter II §1
^ Hilton Chapter II §2
^ Hilton Chapter II §3
^ Brooker and Larden, Differential Germs and Catastrophes, London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge, (1975)
^ Bruce and Giblin, Curves and singularities, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (paperback)

Hilton, Harold. Chapter II: Singular Points. Plane Algebraic Curves. Oxford. 1920.