牛奶凍曲線

牛奶凍曲線（blancmange curve）又稱為高木曲線，因為在1901年由高木貞治所研究。另外也稱為 Takagi-Landsberg 曲線，一種更一般化的曲線，以高木貞治和 Georg Landsberg 的名字命名。牛奶凍曲線也是 de Rham 曲線的特例。

定義

定義域為單位區間的牛奶凍函數定義為

b(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},

其中 ${\textstyle s}$ 是三角波函數，定義為 $s(x)=\min _{n\in \mathbb {N} }\left|x-n\right|$ 。

而 Takagi–Landsberg 曲線的定義是更一般化的：

T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x),

其中 $w$ 是一個變數使 $|w|<1$ 。

以 $w$ （ $|w|<1$ ）為參數無限和 $T_{w}(x)$ 對所有 $x$ 絕對收斂：因為對所有 $x\in \mathbb {R}$ 有 $0\leq s(x)\leq 1/2$ ，從而

\sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}

。

以 $w$ 為參數的 $T_{w}(x)$ 也是連續的。因為可以如下證明 ${\textstyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$ 均勻收斂到 $T_{w}$ ：

\left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}

對所有

x\in \mathbb {R}

。

其值在 $n$ 夠大時可以任意的小。再根據均勻極限定理（英語：Uniform limit theorem）， $T_{w}$ 連續。

$T_{w}$ 具有次可加性。

當 ${\textstyle w={\frac {1}{4}}}$ ， $T_{w}$ 的圖形是拋物線，且用中點細分的構造方法曾被阿基米德描述。

對所有 $0<w<1/2$ ， $T_{w}$ 在任意不是二進分數的 $x\in \mathbb {R}$ 是可微的，且其結果是

T_{w}'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(-1)^{x_{-n-1}},

其中 $(x_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ 是 $x$ 的二進位表達式的序列，也就是滿足 ${\textstyle x=\sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}x_{n}}$ 的序列。