跳转到内容

牛奶冻曲线

维基百科,自由的百科全书
牛奶冻函数的图形

牛奶冻曲线(blancmange curve)又称为高木曲线,因为在1901年由高木贞治所研究。另外也称为 Takagi-Landsberg 曲线,一种更一般化的曲线,以高木贞治Georg Landsberg 的名字命名。 牛奶冻曲线也是 de Rham 曲线的特例。

定义

定义域为单位区间的牛奶冻函数定义为

其中 是三角波函数,定义为

而 Takagi–Landsberg 曲线的定义是更一般化的:

其中是一个变数使


性质

收敛与连续性

)为参数无限和对所有绝对收敛:因为对所有,从而

为参数的也是连续的。因为可以如下证明均匀收敛

对所有

其值在够大时可以任意的小。再根据均匀极限定理英语Uniform limit theorem连续。

次可加性

具有次可加性

抛物线

的图形是抛物线,且用中点细分的构造方法曾被阿基米德描述。

可微性

对所有在任意不是二进分数是可微的,且其结果是

其中二进制表达式的序列,也就是满足的序列。